La distancia de una l ́ampara desde un espejo plano grande es el doble de la distancia
de una persona al espejo plano. La luz de la l ́ampara llega a esta persona por dos
trayectorias. Se mueve al espejo a un  ́angulo de incidencia θ, y se refleja del espejo a
la persona. Tambi ́en se mueve directamente a ella sin reflejarse en el espejo. La
distancia total recorrida por la luz en el primer caso es el doble de la distancia
recorrida por la luz en el segundo. Encuentre el valor del  ́angulo θ.

Vamos a resolver el problema paso a paso. Tenemos una lámpara, un espejo plano y una persona. Sabemos que:

1. La distancia de la lámpara al espejo \(d_L\) es el doble de la distancia de la persona al espejo \(d_P\), es decir:
   \[
   d_L = 2d_P
   \]

2. La luz de la lámpara llega a la persona por dos trayectorias:
   - Una trayectoria directa desde la lámpara a la persona.
   - Otra trayectoria en la que la luz se refleja en el espejo antes de llegar a la persona.

3. La distancia total recorrida por la luz en la trayectoria reflejada es el doble de la distancia recorrida en la trayectoria directa.

### Paso 1: Calcular la distancia en la trayectoria directa
La distancia directa desde la lámpara hasta la persona es simplemente la distancia \(d_{directa} = d_L + d_P\).

### Paso 2: Analizar la trayectoria reflejada
En la trayectoria reflejada, la luz va desde la lámpara hasta el espejo, se refleja, y luego llega a la persona. Debido a la ley de reflexión, el ángulo de incidencia \( \theta \) es igual al ángulo de reflexión.

Llamemos \(x\) a la distancia horizontal entre la lámpara y la persona, y observemos que la trayectoria reflejada forma dos triángulos rectángulos con el ángulo \( \theta \) en cada uno.

La distancia total recorrida por la luz en la trayectoria reflejada será:
\[
d_{reflejada} = d_L \cdot \sec(\theta) + d_P \cdot \sec(\theta) = (d_L + d_P) \sec(\theta)
\]

### Paso 3: Igualar la distancia reflejada con el doble de la distancia directa
Según el problema, la distancia total recorrida en la trayectoria reflejada es el doble de la distancia directa, es decir:
\[
d_{reflejada} = 2 \cdot d_{directa}
\]

Sustituyendo las distancias:
\[
(d_L + d_P) \sec(\theta) = 2 \cdot (d_L + d_P)
\]

Podemos dividir ambos lados de la ecuación por \(d_L + d_P\) (que no es cero):
\[
\sec(\theta) = 2
\]

Finalmente, al resolver para \( \theta \):
\[
\theta = \sec^{-1}(2) 
\]
\[
\theta \approx 60^\circ
\]

### Respuesta
El ángulo de incidencia \( \theta \) es aproximadamente \( 60^\circ \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué es la ley de reflexión y cómo se aplica en este problema?
2. ¿Qué sucede si la distancia entre la lámpara y la persona cambia?
3. ¿Cómo afectaría un ángulo diferente de incidencia al resultado?
4. ¿Qué otras situaciones físicas utilizan la ley de reflexión?
5. ¿Qué pasa si el espejo no es plano sino curvado?
6. ¿Cómo se vería afectado el resultado si el espejo se mueve?
7. ¿Cómo se puede medir experimentalmente el ángulo \( \theta \)?
8. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen estos principios en la vida cotidiana?

**Tip:** En problemas de óptica, es útil recordar que los ángulos de incidencia y reflexión son siempre iguales cuando la luz se refleja en una superficie plana.

Encuentra el ángulo de incidencia \( \theta \) usando la Ley de Reflexión en un problema óptico. Incluye una explicación detallada paso a paso con fórmulas clave y aplicaciones prácticas. Adecuado para estudiantes de secundaria interesados en óptica y trigonometría.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation