Resuelve la integral:
Longitud = (9/4) * [(1/3)x^(1/3)(1 + (4/9)x^(-2/3))^(3/2)]_[1, 8]

Para resolver la integral que representa la longitud de arco dada por:

\[
\text{Longitud} = \frac{9}{4} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} \left(1 + \frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{8}
\]

Primero, evaluamos la expresión dentro de los corchetes en los límites de integración \(x = 8\) y \(x = 1\).

### Paso 1: Evaluar en \( x = 8 \)
Primero, evaluamos la expresión en \( x = 8 \):

\[
\frac{1}{3} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot \left(1 + \frac{4}{9} \cdot 8^{-\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

Calculando cada parte:

- \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \)
- \( 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} \)

Entonces:

\[
1 + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}
\]

\[
\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

Entonces:

\[
\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

### Paso 2: Evaluar en \( x = 1 \)

Ahora evaluamos la expresión en \( x = 1 \):

\[
\frac{1}{3} \cdot 1^{\frac{1}{3}} \cdot \left(1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{-\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \left(1 + \frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

\[
\left(\frac{13}{9}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

### Paso 3: Resta de los valores y multiplicación por \( \frac{9}{4} \)

Finalmente, restamos los valores obtenidos y multiplicamos por \( \frac{9}{4} \).

\[
\text{Longitud} = \frac{9}{4} \cdot \left[\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{13}{9}\right)^{\frac{3}{2}}\right]
\]

Para el cálculo final se necesita calcular los valores numéricos de las raíces y potencias.

### Resultado numérico

Calculando numéricamente:

\[
\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1.516
\]

\[
\left(\frac{13}{9}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1.923
\]

Entonces:

\[
\text{Longitud} = \frac{9}{4} \cdot \left[\frac{2}{3} \cdot 1.516 - \frac{1}{3} \cdot 1.923\right]
\]

\[
= \frac{9}{4} \cdot \left[\frac{3.032}{3} - \frac{1.923}{3}\right] \approx \frac{9}{4} \cdot \frac{1.109}{3}
\]

\[
\approx \frac{9}{4} \cdot 0.3697 \approx 0.8327
\]

Por lo tanto, la longitud aproximada es:

\[
\text{Longitud} \approx 0.8327
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se calcula la longitud de arco de una función más general?
2. ¿Qué métodos existen para evaluar integrales con límites?
3. ¿Cómo se relaciona la integral de longitud de arco con la integral definida?
4. ¿Qué sucede si cambian los límites de la integral?
5. ¿Cómo se simplifican expresiones con fracciones dentro de raíces?

**Tip:** Cuando trabajes con integrales de longitud de arco, una simplificación adecuada en los pasos iniciales puede facilitar mucho el proceso de integración.

Learn how to resolve the integral representing arc length using calculus. The integral involves intricate calculations of powers, roots, and limits. Suitable for university-level calculus students.

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