https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726714943153vfhcrn4t.jpg

resuelve la siguiente ecuacion con todo el procedimiento en español 

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de **eliminación de Gauss**. El sistema dado es:

\[
\begin{aligned}
5x_1 - x_2 - 4x_3 &= 30 \\
-2x_1 + 3x_2 + x_3 &= -5 \\
-4x_1 + 2x_2 + 6x_3 &= -30
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Escribir el sistema en forma de matriz aumentada

La matriz aumentada es:

\[
\begin{pmatrix}
5 & -1 & -4 & | & 30 \\
-2 & 3 & 1 & | & -5 \\
-4 & 2 & 6 & | & -30
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Realizar operaciones de fila para triangular la matriz

Comenzaremos por hacer que el primer elemento de la primera columna (5) sea 1. Para eso, podemos dividir la primera fila entre 5:

\[
R_1 \rightarrow \frac{R_1}{5} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & | & 6 \end{pmatrix}
\]

La nueva matriz es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & | & 6 \\
-2 & 3 & 1 & | & -5 \\
-4 & 2 & 6 & | & -30
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Hacer ceros debajo del pivote en la primera columna

Para hacer que los elementos de la primera columna sean 0 en las filas 2 y 3, usamos las siguientes operaciones de fila:

\[
R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{13}{5} & \frac{-3}{5} & | & 7 \end{pmatrix}
\]
\[
R_3 \rightarrow R_3 + 4R_1 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{6}{5} & \frac{14}{5} & | & -6 \end{pmatrix}
\]

La nueva matriz es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & | & 6 \\
0 & \frac{13}{5} & \frac{-3}{5} & | & 7 \\
0 & \frac{6}{5} & \frac{14}{5} & | & -6
\end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Hacer que el segundo pivote sea 1

Multiplicamos la segunda fila por \( \frac{5}{13} \):

\[
R_2 \rightarrow \frac{5}{13} R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{-3}{13} & | & \frac{35}{13} \end{pmatrix}
\]

La nueva matriz es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & | & 6 \\
0 & 1 & \frac{-3}{13} & | & \frac{35}{13} \\
0 & \frac{6}{5} & \frac{14}{5} & | & -6
\end{pmatrix}
\]

### Paso 5: Hacer ceros debajo y encima del segundo pivote

Primero, hacemos 0 en el tercer elemento de la segunda columna en la tercera fila:

\[
R_3 \rightarrow R_3 - \frac{6}{5}R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & | & -12 \end{pmatrix}
\]

Luego, hacemos 0 en el segundo elemento de la primera fila:

\[
R_1 \rightarrow R_1 + \frac{1}{5} R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{17}{13} & | & \frac{133}{13} \end{pmatrix}
\]

La nueva matriz es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{17}{13} & | & \frac{133}{13} \\
0 & 1 & \frac{-3}{13} & | & \frac{35}{13} \\
0 & 0 & 4 & | & -12
\end{pmatrix}
\]

### Paso 6: Hacer que el tercer pivote sea 1

Dividimos la tercera fila entre 4:

\[
R_3 \rightarrow \frac{R_3}{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & | & -3 \end{pmatrix}
\]

La nueva matriz es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{17}{13} & | & \frac{133}{13} \\
0 & 1 & \frac{-3}{13} & | & \frac{35}{13} \\
0 & 0 & 1 & | & -3
\end{pmatrix}
\]

### Paso 7: Hacer ceros encima del tercer pivote

Hacemos 0 en los elementos de la tercera columna en las filas 1 y 2:

\[
R_1 \rightarrow R_1 + \frac{17}{13}R_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 4 \end{pmatrix}
\]
\[
R_2 \rightarrow R_2 + \frac{3}{13}R_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & | & 10 \end{pmatrix}
\]

### Paso 8: Solución final

La matriz es ahora una matriz identidad:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & 10 \\
0 & 0 & 1 & | & -3
\end{pmatrix}
\]

Por lo tanto, la solución del sistema es:

\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 10, \quad x_3 = -3
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se usa el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones?
2. ¿Qué es una matriz aumentada y cómo se construye?
3. ¿Cómo se interpreta la solución de un sistema de ecuaciones lineales?
4. ¿Cuáles son las ventajas del método de eliminación de Gauss frente a otros métodos?
5. ¿Cómo resolver un sistema incompatible o dependiente con matrices?

### Consejo:
Siempre verifica que los cálculos intermedios sean correctos al usar eliminación de Gauss, especialmente al dividir filas o sumar múltiplos de filas para evitar errores acumulativos.

resuelve la siguiente ecuacion con todo el procedimiento en español

Aprende a resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación de Gauss. Incluye una solución detallada paso a paso para el sistema: 5x1 - x2 - 4x3 = 30, -2x1 + 3x2 + x3 = -5, -4x1 + 2x2 + 6x3 = -30. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation