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Necesito hacer esta resolucion de relaciones de recurrencia metodo sustitucion

La relación de recurrencia dada es:

\[
T(n) = 8T\left(\frac{n}{2}\right) + \theta(1), \quad \text{siendo } T(1) = 1
\]

Para resolver esta relación de recurrencia por el **método de sustitución**, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Desarrollar la recurrencia

Expandimos la recurrencia en cada paso:

\[
T(n) = 8T\left(\frac{n}{2}\right) + \theta(1)
\]

Ahora sustituimos \(T\left(\frac{n}{2}\right)\) en términos de la misma recurrencia:

\[
T\left(\frac{n}{2}\right) = 8T\left(\frac{n}{4}\right) + \theta(1)
\]

Sustituyendo:

\[
T(n) = 8 \left( 8T\left(\frac{n}{4}\right) + \theta(1) \right) + \theta(1)
\]

Simplificando:

\[
T(n) = 8^2 T\left(\frac{n}{4}\right) + 8\theta(1) + \theta(1)
\]

Repitiendo el proceso para \(T\left(\frac{n}{4}\right)\):

\[
T\left(\frac{n}{4}\right) = 8T\left(\frac{n}{8}\right) + \theta(1)
\]

Sustituyendo:

\[
T(n) = 8^3 T\left(\frac{n}{8}\right) + 8^2 \theta(1) + 8\theta(1) + \theta(1)
\]

### Paso 2: Generalizar el patrón

Después de \(k\) pasos, podemos generalizar el patrón de la expansión de la recurrencia:

\[
T(n) = 8^k T\left(\frac{n}{2^k}\right) + \theta(1) \left(8^{k-1} + 8^{k-2} + \dots + 8 + 1\right)
\]

### Paso 3: Determinar el número de pasos

La relación de recurrencia se detiene cuando \(\frac{n}{2^k} = 1\), lo que implica que \(k = \log_2 n\). En este punto, \(T(1) = 1\), así que:

\[
T(n) = 8^{\log_2 n} T(1) + \theta(1)\left(8^{\log_2 n - 1} + \dots + 1\right)
\]

Como \(T(1) = 1\), tenemos:

\[
T(n) = n^{\log_2 8} + \theta(1)\left(8^{\log_2 n - 1} + \dots + 1\right)
\]

Dado que \(\log_2 8 = 3\), esto se simplifica a:

\[
T(n) = n^3 + \theta(1)(\text{suma de una serie geométrica})
\]

### Paso 4: Sumar la serie geométrica

La serie geométrica \(8^{k-1} + 8^{k-2} + \dots + 1\) tiene \(k = \log_2 n\) términos, y la suma de una serie geométrica es:

\[
\frac{8^k - 1}{8 - 1} = \frac{n^3 - 1}{7}
\]

Por lo tanto, la solución final es:

\[
T(n) = n^3 + O(n^3)
\]

### Conclusión

La solución de la relación de recurrencia es \(T(n) = \theta(n^3)\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta resolución?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplicaría el Teorema Maestro para resolver esta misma recurrencia?
2. ¿Qué diferencias existen entre el método de sustitución y el Teorema Maestro?
3. ¿Cómo se expandiría la serie geométrica de otra forma?
4. ¿Qué ocurriría si cambiamos la función de costo constante \(\theta(1)\) por una más compleja?
5. ¿Cómo influyen las bases de los logaritmos en el resultado final?

### Tip:
Recuerda que el método de sustitución es útil para verificar soluciones, mientras que el Teorema Maestro ofrece una solución directa en muchos casos.

T(n) = 8T(n/2) + θ(1) siendo T(1) = 1, resuelva utilizando el método de sustitución.

Aprende a resolver la relación de recurrencia T(n) = 8T(n/2) + θ(1) utilizando el método de sustitución. Este problema cubre conceptos clave como relaciones de recurrencia y notación asintótica, adecuado para estudiantes de ciencias de la computación a nivel universitario.

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