Halle la solución de y′ + y = sen(x) + 3 cos(2x) cuya gráfica pasa por

el origen (piense y no haga cuentas de más).

Para resolver la ecuación diferencial ordinaria (EDO) \( y' + y = \sin(x) + 3\cos(2x) \), cuya solución gráfica pasa por el origen, sigamos los siguientes pasos:

### 1. Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada:
La EDO homogénea asociada es:
\[
y' + y = 0
\]

La solución general de esta ecuación es:
\[
y_h(x) = Ce^{-x}
\]
donde \(C\) es una constante de integración.

### 2. Encontrar una solución particular para la ecuación completa:
Buscamos una solución particular \(y_p(x)\) para la EDO no homogénea:
\[
y_p' + y_p = \sin(x) + 3\cos(2x)
\]

Dado que el lado derecho de la ecuación es una combinación de funciones sinusoidales, proponemos una solución particular de la forma:
\[
y_p(x) = A\sin(x) + B\cos(x) + C\sin(2x) + D\cos(2x)
\]

### 3. Derivar y sustituir en la ecuación original:
Primero, derivamos \(y_p(x)\):
\[
y_p'(x) = A\cos(x) - B\sin(x) + 2C\cos(2x) - 2D\sin(2x)
\]

Ahora sustituimos \(y_p(x)\) y \(y_p'(x)\) en la ecuación diferencial:
\[
(A\cos(x) - B\sin(x) + 2C\cos(2x) - 2D\sin(2x)) + (A\sin(x) + B\cos(x) + C\sin(2x) + D\cos(2x)) = \sin(x) + 3\cos(2x)
\]

Agrupamos términos por \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\sin(2x)\) y \(\cos(2x)\):
\[
(A - B)\sin(x) + (B + A)\cos(x) + (C - 2D)\sin(2x) + (D + 2C)\cos(2x) = \sin(x) + 3\cos(2x)
\]

Para que esta igualdad sea cierta, los coeficientes de \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\sin(2x)\) y \(\cos(2x)\) deben coincidir en ambos lados de la ecuación:
- \(A - B = 1\)
- \(B + A = 0\)
- \(C - 2D = 0\)
- \(D + 2C = 3\)

De estas ecuaciones obtenemos:
- \(A = \frac{1}{2}\), \(B = -\frac{1}{2}\)
- \(C = \frac{2}{5}\), \(D = \frac{3}{5}\)

Por lo tanto, la solución particular es:
\[
y_p(x) = \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{2}{5}\sin(2x) + \frac{3}{5}\cos(2x)
\]

### 4. Solución general de la ecuación:
La solución general de la EDO es:
\[
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{2}{5}\sin(2x) + \frac{3}{5}\cos(2x)
\]

### 5. Determinación de la constante utilizando la condición inicial:
Se nos dice que la gráfica pasa por el origen, es decir, \(y(0) = 0\). Sustituimos \(x = 0\) en la solución general:
\[
y(0) = Ce^{0} + \frac{1}{2}\sin(0) - \frac{1}{2}\cos(0) + \frac{2}{5}\sin(2 \times 0) + \frac{3}{5}\cos(2 \times 0) = 0
\]
\[
C - \frac{1}{2} + \frac{3}{5} = 0
\]
\[
C = \frac{1}{2} - \frac{3}{5} = \frac{5 - 6}{10} = -\frac{1}{10}
\]

### 6. Solución final:
Por lo tanto, la solución final de la ecuación diferencial es:
\[
y(x) = -\frac{1}{10}e^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{2}{5}\sin(2x) + \frac{3}{5}\cos(2x)
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones diferenciales lineales de primer orden?
2. ¿Qué métodos existen para encontrar soluciones particulares?
3. ¿Cómo se utilizan las condiciones iniciales para determinar constantes en soluciones generales?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de las condiciones iniciales en una EDO?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las ecuaciones diferenciales en física e ingeniería?

**Tip:** En las ecuaciones diferenciales, identificar la forma de la solución particular es clave para simplificar el proceso de resolución.

Aprende cómo resolver la ecuación diferencial y′ + y = sen(x) + 3 cos(2x), donde la gráfica pasa por el origen. Este problema cubre conceptos clave como ecuaciones diferenciales ordinarias, solución general y particular, y condiciones iniciales. Adecuado para estudiantes universitarios y entusiastas de las matemáticas.

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