 Comprobar que y = tan(x + c) es una familia uniparamétrica (familia de curvas) de la ecuación diferencial autónoma y' = 1 + y^2, luego resuelva el problema de valor inicial У(0) = 0

Para resolver este problema, seguimos los pasos a continuación:

### 1. **Verificación de que \( y = \tan(x + c) \) es una solución de la ecuación diferencial autónoma \( y' = 1 + y^2 \)**

La ecuación diferencial dada es:
\[
y' = 1 + y^2
\]

Consideremos la función \( y = \tan(x + c) \). Derivamos \( y \) con respecto a \( x \):
\[
y = \tan(x + c)
\]
\[
y' = \frac{d}{dx} [\tan(x + c)] = \sec^2(x + c)
\]

Ahora, necesitamos comprobar si \( y' = \sec^2(x + c) \) satisface la ecuación diferencial \( y' = 1 + y^2 \). 

Primero, calculamos \( 1 + y^2 \) usando \( y = \tan(x + c) \):
\[
1 + y^2 = 1 + \tan^2(x + c)
\]

Sabemos de las identidades trigonométricas que:
\[
1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)
\]
Por lo tanto:
\[
1 + \tan^2(x + c) = \sec^2(x + c)
\]

Dado que:
\[
y' = \sec^2(x + c) \text{ y } 1 + y^2 = \sec^2(x + c)
\]
Entonces, \( y' = 1 + y^2 \), lo que significa que \( y = \tan(x + c) \) es una solución de la ecuación diferencial.

### 2. **Resolver el problema de valor inicial \( y(0) = 0 \)**

Dado que \( y = \tan(x + c) \), podemos utilizar la condición inicial para encontrar el valor de \( c \). Tenemos:
\[
y(0) = \tan(0 + c) = 0
\]

Sabemos que \( \tan(\theta) = 0 \) cuando \( \theta = 0 \). Por lo tanto:
\[
0 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 0
\]

Entonces, la solución particular que satisface la condición inicial es:
\[
y = \tan(x)
\]

### **Respuesta Final:**

La solución al problema de valor inicial \( y' = 1 + y^2 \) con \( y(0) = 0 \) es:
\[
y = \tan(x)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución? Aquí hay 5 preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales autónomas?
2. ¿Cómo afecta el valor inicial a la selección de la constante en una solución uniparamétrica?
3. ¿Cuál es la relación entre las funciones trigonométricas y las soluciones de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Qué otras familias de curvas uniparamétricas podrían resolver la misma ecuación diferencial?
5. ¿Cómo se pueden resolver ecuaciones diferenciales usando la integración directa?

**Tip:** Al trabajar con ecuaciones diferenciales, verificar las soluciones propuestas derivando y comparando con la ecuación original es una excelente manera de asegurarse de que la solución es correcta.

Aprende cómo verificar que y = tan(x + c) es una solución de la ecuación diferencial y' = 1 + y^2 y resolver el problema de valor inicial y(0) = 0. Este problema cubre conceptos clave en ecuaciones diferenciales y funciones trigonométricas. Adecuado para estudiantes universitarios y entusiastas de las matemáticas.

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