Calcule la parte real de (-1.66+-0.82i)10

Para calcular la parte real de \((-1.66 + -0.82i)^{10}\), primero conviene expresar el número complejo en su forma polar.

### 1. Escribir el número complejo en forma polar:
El número complejo \(-1.66 - 0.82i\) puede expresarse como \( z = r \cdot e^{i\theta} \), donde \(r\) es el módulo del número complejo y \(\theta\) es el argumento (ángulo).

#### Paso 1: Calcular el módulo \(r\)
\[
r = \sqrt{(-1.66)^2 + (-0.82)^2} = \sqrt{2.7556 + 0.6724} = \sqrt{3.428} \approx 1.851
\]

#### Paso 2: Calcular el argumento \(\theta\)
El argumento \(\theta\) está dado por:
\[
\theta = \text{atan2} \left( \frac{-0.82}{-1.66} \right)
\]
\[
\theta = \text{atan2}(0.82, 1.66) \approx \tan^{-1}(0.494) \approx 0.462 \, \text{radianes}
\]
Dado que el número está en el tercer cuadrante (ambos términos son negativos), ajustamos el ángulo:
\[
\theta = \pi + 0.462 \approx 3.604 \, \text{radianes}
\]

### 2. Aplicar la fórmula de De Moivre
Para elevar un número complejo en forma polar a una potencia, usamos la fórmula de De Moivre:
\[
z^{n} = r^n \cdot e^{in\theta}
\]
En nuestro caso, \(n = 10\), \(r = 1.851\), y \(\theta = 3.604\).

#### Paso 3: Calcular el nuevo módulo
\[
r^{10} = (1.851)^{10} \approx 266.24
\]

#### Paso 4: Calcular el nuevo ángulo
\[
\theta_{10} = 10 \times 3.604 = 36.04 \, \text{radianes}
\]
Restamos \(2\pi\) repetidamente para obtener un ángulo equivalente en el intervalo \( [0, 2\pi] \):
\[
36.04 - 5(2\pi) = 36.04 - 31.42 \approx 4.62 \, \text{radianes}
\]

### 3. Convertir de forma polar a rectangular
Ahora, para obtener la parte real del número complejo, usamos la fórmula:
\[
z = r \cdot (\cos(\theta) + i\sin(\theta))
\]
\[
\text{Parte real} = 266.24 \cdot \cos(4.62)
\]
Calculamos el coseno:
\[
\cos(4.62) \approx -0.10
\]
Finalmente:
\[
\text{Parte real} \approx 266.24 \cdot (-0.10) = -26.62
\]

### Respuesta final:
La parte real de \((-1.66 + -0.82i)^{10}\) es aproximadamente \(-26.62\).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la parte imaginaria de este número complejo?
2. ¿Qué sucede si cambias la potencia en la fórmula de De Moivre?
3. ¿Cómo afecta el ángulo inicial del número complejo al resultado final?
4. ¿Por qué se resta \(2\pi\) al ángulo en la forma polar?
5. ¿Cómo se realiza la conversión entre forma polar y rectangular en números complejos?

### Tip:
Siempre revisa la posición del número complejo en el plano complejo antes de calcular su argumento.

Calcule la parte real de (-1.66 + -0.82i)^{10}

Learn how to calculate the real part of (-1.66 + -0.82i) raised to the power of 10. This solution involves converting complex numbers to polar form, applying De Moivre's theorem, and using trigonometric functions to find the real part. Detailed steps and explanations provided. Suitable for advanced precalculus and undergraduate students.

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