 Consideramos la siguiente suma de términos:
Xn
i=0
2
ix
2
i−1 − 2
i+1x
2
i+1−1
1 − x
2
i + x
2
i+1 =
1 − 2x
1 − x + x
2
+
2x − 4x
3
1 − x
2 + x
4
+
4x
3 − 8x
7
1 − x
4 + x
8
+ . . .
En el intervalo (−1, 1) la suma converge a f(x) = 1 + 2x
1 + x + x
2
. Queremos visualizar que tan
rápido converge la suma en este intervalo, es decir, para los valores −1 < x < 1. Escribir un
programa Python que permite visualizar el número de términos necesarios para obtener una
aproximación con error absoluto no mayor que un valor ε dado (por ejemplo Fig. 2



Pista: Crear una función termino(i, x) para evaluar el i-ésimo término en un punto x dado.
Punto extra: ¿Que pasa en x = 1? Explíquelo.

El coedigo debe comenzar asi:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

__author__ = "CONSTANZA VALENTINA CORNEJO CERÓN"
__RUT__ = "20921817-8"

epsilon = 1e-8
interval = np.linspace(-1, 1, 102)[1:-1]

def f(x):
    return (1 + 2*x) / (1 + x + x**2)


Para abordar este problema, necesitamos implementar una función que evalúe cada término en la suma y sume los términos hasta que el error absoluto sea menor que un valor dado de \(\epsilon\). Luego, visualizaremos cuántos términos son necesarios para obtener una buena aproximación en el intervalo \((-1, 1)\).

### Estructura del programa:
1. **Función `termino(i, x)`**: Evaluará el \(i\)-ésimo término de la serie en un punto \(x\).
2. **Función de suma parcial**: Sumar los términos de la serie hasta que la diferencia entre la suma y la función real \(f(x)\) sea menor que \(\epsilon\).
3. **Visualización**: Graficar el número de términos necesarios para diferentes valores de \(x\) en el intervalo \((-1, 1)\).

### ¿Qué pasa en \(x = 1\)?
En \(x = 1\), la función f(x) tiene una singularidad. Esto significa que la serie y la función no convergen adecuadamente. Podemos observar esto matemáticamente ya que \(f(1) = \infty\), lo que indica una divergencia.

Aquí está el código en Python:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

__author__ = "CONSTANZA VALENTINA CORNEJO CERÓN"
__RUT__ = "20921817-8"

epsilon = 1e-8
interval = np.linspace(-1, 1, 102)[1:-1]  # Excluimos -1 y 1

def f(x):
    """Función f(x) que define la convergencia de la serie."""
    return (1 + 2 * x) / (1 + x + x**2)

def termino(i, x):
    """Evalúa el i-ésimo término de la serie."""
    num1 = 2**i * x**(2*i - 1)
    num2 = 2**(i + 1) * x**(2*i + 1)
    denom = 1 - x**(2*i) + x**(2*i + 2)
    return (num1 - num2) / denom

def suma_parcial(x, epsilon):
    """Suma los términos hasta que el error sea menor a epsilon."""
    suma = 0
    i = 0
    while True:
        termino_actual = termino(i, x)
        suma += termino_actual
        error = abs(suma - f(x))
        if error < epsilon:
            break
        i += 1
    return i

# Graficar el número de términos necesarios para converger
resultados = []
for x in interval:
    num_terminos = suma_parcial(x, epsilon)
    resultados.append(num_terminos)

plt.plot(interval, resultados)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Número de términos')
plt.title('Número de términos necesarios para converger (ε = {})'.format(epsilon))
plt.grid(True)
plt.show()
```

### Explicación:
1. **Función `termino(i, x)`**: Calcula el \(i\)-ésimo término de la serie, tomando en cuenta la fórmula que nos das en el enunciado.
2. **Función `suma_parcial(x, epsilon)`**: Suma los términos de la serie hasta que el error absoluto entre la suma y la función \(f(x)\) sea menor que \(\epsilon\).
3. **Visualización**: Calculamos el número de términos necesarios para cada valor de \(x\) en el intervalo \((-1, 1)\), y lo graficamos para observar cómo varía la convergencia.

### Comportamiento en \(x = 1\):
En \(x = 1\), la función \(f(x)\) se vuelve indefinida (es decir, \(f(1) = \infty\)). Por lo tanto, no es posible que la suma converja en este punto. Es importante evitar este valor en las evaluaciones numéricas.

---

¿Te gustaría agregar más detalles sobre el análisis en \(x = 1\) o alguna parte del código?  
Aquí tienes 5 preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo afecta el valor de \(\epsilon\) a la velocidad de convergencia?
2. ¿Qué sucede con la serie cuando \(x \to -1\)?
3. ¿Cómo podríamos modificar el código para mejorar la precisión?
4. ¿Existen otras formas de visualizar la convergencia además del número de términos?
5. ¿Qué papel juegan las potencias de \(x\) en la velocidad de convergencia?

**Tip**: Al trabajar con sumas infinitas, una aproximación rápida es controlar el error acumulado para evitar cálculos innecesarios.

Consideramos la siguiente suma de términos: Xn i=0 2 ix 2 i−1 − 2 i+1x 2 i+1−1 1 − x 2 i + x 2 i+1 = 1 − 2x 1 − x + x 2 + 2x − 4x 3 1 − x 2 + x 4 + 4x 3 − 8x 7 1 − x 4 + x 8 + ... En el intervalo (−1, 1) la suma converge a f(x) = 1 + 2x 1 + x + x 2. Queremos visualizar que tan rápido converge la suma en este intervalo, es decir, para los valores −1 < x < 1. Escribir un programa Python que permite visualizar el número de términos necesarios para obtener una aproximación con error absoluto no mayor que un valor ε dado.

Learn how to implement a Python program to visualize the convergence of a mathematical series for values in the interval (-1, 1). This problem uses numerical approximation methods to evaluate how quickly the series converges with a given epsilon error. Explore the behavior of the series, including why it diverges at x=1.

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