 Consideramos la siguiente suma de términos:
Xn
i=0
2
ix
2
i−1 − 2
i+1x
2
i+1−1
1 − x
2
i + x
2
i+1 =
1 − 2x
1 − x + x
2
+
2x − 4x
3
1 − x
2 + x
4
+
4x
3 − 8x
7
1 − x
4 + x
8
+ . . .
En el intervalo (−1, 1) la suma converge a f(x) = 1 + 2x
1 + x + x
2
. Queremos visualizar que tan
rápido converge la suma en este intervalo, es decir, para los valores −1 < x < 1. Escribir un
programa Python que permite visualizar el número de términos necesarios para obtener una
aproximación con error absoluto no mayor que un valor ε dado (por ejemplo Fig. 2 ).
1 import ...
2
3 __author__ = "NOMBRE"
4 __RUT__ = "RUT-SIN-PUNTOS-CON-GUIÓN"
5
6 epsilon = 1e-8
7 interval = np.linspace(-1, 1, 102)[1:-1]
8
9 def f(x):
10 return (1 + 2*x) / (1 + x + x**2)
11
12 # AQUÍ IMPLEMENTAR EL CÓDIGO
Fig. 2: Número de términos necesarios para ε = 10−8
.
Pista: Crear una función termino(i, x) para evaluar el i-ésimo término en un punto x dado.
Punto extra: ¿Que pasa en x = 1? Explíquelo.

El codigo debe comenzar así:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

__author__ = "CONSTANZA VALENTINA CORNEJO CERÓN"
__RUT__ = "20921817-8"

# Parámetros iniciales
epsilon = 1e-8  # Valor máximo del error absoluto permitido
interval = np.linspace(-1, 1, 102)[1:-1]  # Intervalo de x entre -1 y 1 excluyendo los extremos

# Definición de la función f(x)
def f(x):
    return (1 + 2 * x) / (1 + x + x**2)

Aquí tienes el código en Python que implementa la solución para visualizar el número de términos necesarios para obtener una aproximación con un error absoluto no mayor a \( \epsilon = 10^{-8} \), como solicitaste. El código sigue la estructura que proporcionaste, y he incluido una función para calcular el \( i \)-ésimo término de la suma en un punto \( x \) dado.

### Código:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

__author__ = "CONSTANZA VALENTINA CORNEJO CERÓN"
__RUT__ = "20921817-8"

# Parámetros iniciales
epsilon = 1e-8  # Valor máximo del error absoluto permitido
interval = np.linspace(-1, 1, 102)[1:-1]  # Intervalo de x entre -1 y 1 excluyendo los extremos

# Definición de la función f(x)
def f(x):
    return (1 + 2 * x) / (1 + x + x**2)

# Definición del término i-ésimo de la suma
def termino(i, x):
    return (2**i * x**(2*i - 1) - 2**(i+1) * x**(2*i + 1)) / (1 - x**(2*i) + x**(2*(i+1)))

# Función para aproximar la suma hasta que el error sea menor a epsilon
def aproximacion(x, epsilon):
    suma = 0
    n = 0
    while True:
        nuevo_termino = termino(n, x)
        suma += nuevo_termino
        error = abs(f(x) - suma)
        if error < epsilon:
            return n  # Retorna el número de términos necesarios
        n += 1

# Calcular el número de términos necesarios para cada valor de x en el intervalo
resultados = np.array([aproximacion(x, epsilon) for x in interval])

# Graficar los resultados
plt.plot(interval, resultados)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Número de términos necesarios')
plt.title(f'Número de términos necesarios para epsilon = {epsilon}')
plt.grid(True)
plt.show()
```

### Explicación del código:

1. **Función `f(x)`**: Representa la función \( f(x) = \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2} \), que es el límite al que converge la serie.
2. **Función `termino(i, x)`**: Evalúa el \( i \)-ésimo término de la serie en el punto \( x \). Esta es la fórmula que se va sumando para aproximar la función.
3. **Función `aproximacion(x, epsilon)`**: Realiza la suma de los términos de la serie para un valor de \( x \) hasta que el error absoluto entre la suma y \( f(x) \) sea menor que el valor de \( \epsilon \). La función retorna el número de términos necesarios.
4. **Intervalo `interval`**: Se define el intervalo \( (-1, 1) \), excluyendo los extremos.
5. **Visualización**: El gráfico muestra cuántos términos son necesarios para cada valor de \( x \) dentro del intervalo.

### Punto extra: ¿Qué pasa en \( x = 1 \)?

En \( x = 1 \), la serie no es convergente, ya que el denominador de muchos de los términos se hace cero o tiende a infinito. Esto provoca una indeterminación y una divergencia en la suma, lo que hace que no se pueda obtener una aproximación en ese punto.

¿Te gustaría que te explique algún detalle o que modifique algo del código?

---

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el valor de \( \epsilon \) a la velocidad de convergencia?
2. ¿Cómo se comporta la serie cerca de \( x = -1 \)?
3. ¿Qué ocurre si se cambia el número de puntos en el intervalo \( (-1, 1) \)?
4. ¿Cuál sería la interpretación gráfica si se cambia la función \( f(x) \)?
5. ¿Cómo se podría optimizar la función `aproximacion` para grandes \( x \)?

#### Tip:
En problemas de convergencia de series, siempre es útil observar el comportamiento de la serie en los puntos límites del intervalo para detectar posibles divergencias.

Consideramos la siguiente suma de términos: Xn i=0 2 ix 2 i−1 − 2 i+1x 2 i+1−1 1 − x 2 i + x 2 i+1 = 1 − 2x 1 − x + x 2 + 2x − 4x 3 1 − x 2 + x 4 + 4x 3 − 8x 7 1 − x 4 + x 8 + . . . En el intervalo (−1, 1) la suma converge a f(x) = 1 + 2x 1 + x + x 2. Queremos visualizar que tan rápido converge la suma en este intervalo, es decir, para los valores −1 < x < 1. Escribir un programa Python que permite visualizar el número de términos necesarios para obtener una aproximación con error absoluto no mayor que un valor ε dado.

Explore how quickly a power series converges for values of x in the interval (-1, 1). Learn how to approximate the number of terms required to achieve a given error tolerance (ε = 10^-8) using Python. This solution applies to series summation, numerical approximation, and convergence theory.

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