10) El consumo de combustible de un automóvil para un determinado recorrido es una variable aleatoria de la cual se ha tomado una importante cantidad de datos que han arrojado una media de 11,2 litros con un desvío estándar de 1,3 litros, valores estos que pueden considerarse parámetros poblacionales. Se desea ensayar el efecto de un nuevo aditivo con el que se espera reducir el consumo medio y, de confirmarse esta suposición, se lanzará al mercado. Dados los costos implicados, se establece un riesgo del 5% de lanzar el producto cuando no produce el efecto deseado. Se realiza una prueba preliminar en la cual, sobre 10 corridas (de igual recorrido) se registra un consumo medio de 10,6 litros. Parece razonable asumir que el desvío estándar no se modificará. 

Este problema trata sobre la realización de una prueba de hipótesis para evaluar si el nuevo aditivo reduce el consumo medio de combustible en comparación con el promedio conocido de 11,2 litros. Veamos cómo abordarlo paso a paso:

### Planteamiento de la hipótesis:
1. **Hipótesis nula (\(H_0\))**: El aditivo no reduce el consumo medio de combustible, es decir, \( \mu = 11,2 \) litros.
2. **Hipótesis alternativa (\(H_a\))**: El aditivo reduce el consumo medio de combustible, es decir, \( \mu < 11,2 \) litros.

### Nivel de significancia:
- El nivel de significancia (\( \alpha \)) es del 5%, es decir, 0,05.

### Estadístico de prueba:
Dado que el tamaño de la muestra es pequeño (\(n = 10\)) y se asume que la desviación estándar poblacional es conocida, se utiliza la distribución normal para calcular el estadístico de prueba \( Z \).

El estadístico \( Z \) se calcula con la siguiente fórmula:

\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\]

Donde:
- \( \bar{X} = 10,6 \) litros (media muestral)
- \( \mu = 11,2 \) litros (media poblacional bajo \( H_0 \))
- \( \sigma = 1,3 \) litros (desviación estándar poblacional)
- \( n = 10 \) (tamaño de la muestra)

### Cálculo del estadístico \( Z \):
\[
Z = \frac{10,6 - 11,2}{\frac{1,3}{\sqrt{10}}}
\]

Ahora, resolvamos el valor de \( Z \):

\[
Z = \frac{-0,6}{\frac{1,3}{\sqrt{10}}} = \frac{-0,6}{0,411} \approx -1,46
\]

### Decisión:
- Buscamos el valor crítico de \( Z \) para un nivel de significancia del 5% en una cola (prueba unilateral a la izquierda). El valor crítico para \( Z \) es aproximadamente \( -1,645 \).
- Comparamos el valor calculado de \( Z \) con el valor crítico.

### Conclusión:
- **Si \( Z \) calculado es menor que \( -1,645 \)**, rechazamos \( H_0 \) y concluimos que el aditivo reduce el consumo.
- **Si \( Z \) calculado es mayor o igual a \( -1,645 \)**, no rechazamos \( H_0 \) y no tenemos suficiente evidencia para concluir que el aditivo reduce el consumo.

En este caso, \( Z \approx -1,46 \), que es mayor que \( -1,645 \). Por lo tanto, **no rechazamos la hipótesis nula \( H_0 \)**.

### Interpretación:
No hay suficiente evidencia estadística para afirmar que el aditivo reduce el consumo medio de combustible en comparación con el promedio conocido de 11,2 litros. Por lo tanto, basado en esta prueba preliminar, no se recomendaría lanzar el aditivo al mercado.

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¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo cambiarían los resultados si el nivel de significancia fuera del 1%?
2. ¿Qué ocurriría si la muestra tuviera más de 30 observaciones?
3. ¿Qué pasaría si el desvío estándar no se mantuviera constante?
4. ¿Cómo afecta la magnitud del efecto del aditivo en los resultados de la prueba de hipótesis?
5. ¿Qué otro tipo de pruebas estadísticas podrían ser relevantes para este análisis?

**Tip:** Cuando trabajes con pruebas de hipótesis, siempre define claramente tus hipótesis nula y alternativa antes de realizar cualquier cálculo.

Aprende cómo realizar una prueba de hipótesis para evaluar si un nuevo aditivo reduce el consumo medio de combustible en comparación con una media poblacional conocida. Este problema aborda conceptos de inferencia estadística, prueba de hipótesis y distribución normal. Adecuado para estudiantes y profesionales interesados en análisis estadístico.

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