Unidad 3 Trigonometría Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I 1.º Bachillerato Cálculo de razones a partir de otras conocidas Si un ángulo mide el doble o la mitad de otro ángulo cuyas razones conocemos, podemos calcular todas sus razones trigonométricas sin necesidad de conocer su medida exacta. Veamos algunos ejemplos: Si sabemos que el valor del seno de un ángulo α del segundo cuadrante es 4/5, las razones trigonométricas del ángulo 2α y del ángulo α/2 se pueden hallar así: sen²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 - (4/5)² ⇒ cos²α = 9/25 ⇒ cosα = -3/5 ⇒ tgα = sen α / cos α = -(4/3) sen 2α = 2sen α cos α = 2 · (4/5) · (-3/5) = -24/25 = -12/25 = -24/25 cos 2α = cos²α - sen²α = (9/25) - (16/25) = -7/25 tg 2α = sen 2α / cos 2α = (-24/25) / (-7/25) = 24/7 sen (α/2) = ±√((1 - cos α) / 2) = ±√((1 - (-3/5)) / 2) = ±√(4/5) / √2 = ±2√2/√5 cos (α/2) = ±√((1 + cos α) / 2) = ±√((1 + (-3/5)) / 2) = ±√(1/5) / √2 = ±1/√10 tg (α/2) = sen (α/2) / cos (α/2) = (±2√2/√5) / (±1/√10) = ±2√2/√5 · √10 = ±2√4 Si lo que se conoce es una de las razones inversas, por ejemplo, sec α = 3, y el ángulo pertenece al primer cuadrante, entonces: cos α = 1/3 sen α = √(1 - cos²α) = √(1 - (1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3 tg α = sen α / cos α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2 sen 2α = 2sen α cos α = 2 · (2√2/3) · (1/3) = 4√2/9 cos 2α = cos²α - sen²α = (1/3)² - (2√2/3)² = 1/9 - 8/9 = -7/9 tg 2α = sen 2α / cos 2α = (4√2/9) / (-7/9) = -4√2/7 sen (α/2) = √((1 - cos α) / 2) = √((1 - 1/3) / 2) = √(1/3) / √2 = √6/6 cos (α/2) = √((1 + cos α) / 2) = √((1 + 1/3) / 2) = √(2/3) / √2 = √3/3 tg (α/2) = sen (α/2) / cos (α/2) = (√6/6) / (√3/3) = √2/2 Ejercicios Sabiendo que sen α = 1/4, cosec β = -2 y tg γ = 3/4 y que α ∈ I, β ∈ IV y γ ∈ III, calcula: a) sen 2α b) cos (β/2) c) tg 2γ d) sen (α + β) e) sec (γ/2) f) cos 3β g) cos (γ - β) h) cotg (α/2)