Utiliza las diferencias divididas de Newton para encontrar los polinomios de interpolación correspondientes a los siguientes puntos. demuestre de forma gráfica con GeoGebra que cada punto pertenece al polinomio que construyo Luego, compara los polinomios obtenidos con los resultados del método de Lagrange para verificar si son equivalentes, puede ser útil graficar ambos polinomios y ver su intersección en los puntos clave.

(-2,4),\ (1,-3),\ (3,7)

### 1. Cálculo del polinomio de interpolación usando **Diferencias Divididas de Newton**

Dado los puntos \((-2, 4)\), \((1, -3)\), \((3, 7)\), construimos el polinomio de Newton.

#### Paso 1: Tabla de diferencias divididas

\[
\text{Dividimos la tabla en niveles de diferencias divididas.}
\]

| \(x\)  | \(f(x)\) | 1ra diferencia dividida \((\Delta_1)\) | 2da diferencia dividida \((\Delta_2)\) |
|--------|----------|-----------------------|-----------------------|
| -2     | 4        | \(-\frac{7}{3}\)       | 5                     |
| 1      | -3       | \(5\)                  |                       |
| 3      | 7        |                       |                       |

#### Paso 2: Polinomio de interpolación de Newton

La fórmula general del polinomio de Newton es:

\[
P(x) = f(x_0) + \Delta_1(x - x_0) + \Delta_2(x - x_0)(x - x_1)
\]

Con \(x_0 = -2\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\), y usando las diferencias divididas calculadas, obtenemos:

\[
P(x) = 4 + \left(-\frac{7}{3}\right)(x + 2) + 5(x + 2)(x - 1)
\]

Expandiendo este polinomio:

1. Multiplicamos \(-\frac{7}{3}(x + 2)\):

   \[
   -\frac{7}{3}(x + 2) = -\frac{7}{3}x - \frac{14}{3}
   \]

2. Multiplicamos \(5(x + 2)(x - 1)\):

   \[
   5(x + 2)(x - 1) = 5(x^2 + x - 2) = 5x^2 + 5x - 10
   \]

Sumando los términos:

\[
P(x) = 4 - \frac{7}{3}x - \frac{14}{3} + 5x^2 + 5x - 10
\]

Simplificando:

\[
P(x) = 5x^2 + \left(5 - \frac{7}{3}\right)x + \left(4 - \frac{14}{3} - 10\right)
\]

\[
P(x) = 5x^2 + \frac{8}{3}x - \frac{38}{3}
\]

Este es el polinomio final de interpolación usando las diferencias divididas de Newton:

\[
P(x) = 5x^2 + \frac{8}{3}x - \frac{38}{3}
\]

---

### 2. Cálculo del polinomio de interpolación usando **el método de Lagrange**

El polinomio de Lagrange tiene la forma:

\[
P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x)
\]

donde:

\[
L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\]

#### Paso 1: Cálculo de los términos \(L_0(x)\), \(L_1(x)\), y \(L_2(x)\)

- \(L_0(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(-2 - 1)(-2 - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{15}\)
- \(L_1(x) = \frac{(x + 2)(x - 3)}{(1 + 2)(1 - 3)} = \frac{(x + 2)(x - 3)}{-6}\)
- \(L_2(x) = \frac{(x + 2)(x - 1)}{(3 + 2)(3 - 1)} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{10}\)

#### Paso 2: Construcción del polinomio de Lagrange

\[
P(x) = 4L_0(x) - 3L_1(x) + 7L_2(x)
\]

Calculamos cada término:

- \(4L_0(x) = 4 \cdot \frac{(x - 1)(x - 3)}{15} = \frac{4(x - 1)(x - 3)}{15}\)
- \(-3L_1(x) = -3 \cdot \frac{(x + 2)(x - 3)}{-6} = \frac{3(x + 2)(x - 3)}{6}\)
- \(7L_2(x) = 7 \cdot \frac{(x + 2)(x - 1)}{10} = \frac{7(x + 2)(x - 1)}{10}\)

Sumando los términos:

\[
P(x) = \frac{4(x - 1)(x - 3)}{15} + \frac{3(x + 2)(x - 3)}{6} + \frac{7(x + 2)(x - 1)}{10}
\]

---

### 3. Comparación y Verificación Gráfica

**GeoGebra** puede utilizarse para graficar ambos polinomios (el de Newton y el de Lagrange) y verificar visualmente si coinciden en los puntos clave \((-2, 4)\), \( (1, -3)\), y \( (3, 7)\). Ambos polinomios deben ser equivalentes, ya que son dos métodos diferentes para construir el mismo polinomio de interpolación.

### Pasos para la verificación gráfica en GeoGebra:
1. Ingresa las expresiones de ambos polinomios.
2. Grafica cada polinomio en la misma ventana.
3. Verifica que ambos pasen por los puntos dados.
4. Comprueba visualmente que ambos polinomios se superponen exactamente.

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el número de puntos de datos al grado del polinomio interpolante?
2. ¿Cuál es la principal diferencia conceptual entre

Utiliza las diferencias divididas de Newton para encontrar los polinomios de interpolación correspondientes a los siguientes puntos. Demuestre de forma gráfica con GeoGebra que cada punto pertenece al polinomio que construyo. Luego, compara los polinomios obtenidos con los resultados del método de Lagrange para verificar si son equivalentes. Puede ser útil graficar ambos polinomios y ver su intersección en los puntos clave. (-2,4), (1,-3), (3,7)

Aprende a utilizar las diferencias divididas de Newton y el método de Lagrange para encontrar polinomios de interpolación correspondientes a los puntos (-2, 4), (1, -3), y (3, 7). Compara los resultados y verifica gráficamente en GeoGebra la equivalencia de ambos polinomios.

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