mọi n thuộc N , n^2 + 1 không chia hết cho 3

Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi \( n \in \mathbb{N} \) (số tự nhiên), biểu thức \( n^2 + 1 \) không chia hết cho 3.

### Chứng minh:

Xét mọi số tự nhiên \( n \) có thể được biểu diễn dưới 3 dạng dư khi chia cho 3, tức là:
1. \( n \equiv 0 \pmod{3} \)
2. \( n \equiv 1 \pmod{3} \)
3. \( n \equiv 2 \pmod{3} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp.

- **Trường hợp 1:** \( n \equiv 0 \pmod{3} \)

  Khi \( n \equiv 0 \pmod{3} \), ta có:
  \[
  n^2 + 1 \equiv 0^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3}
  \]
  Điều này có nghĩa là \( n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3} \), không chia hết cho 3.

- **Trường hợp 2:** \( n \equiv 1 \pmod{3} \)

  Khi \( n \equiv 1 \pmod{3} \), ta có:
  \[
  n^2 + 1 \equiv 1^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}
  \]
  Điều này có nghĩa là \( n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \), không chia hết cho 3.

- **Trường hợp 3:** \( n \equiv 2 \pmod{3} \)

  Khi \( n \equiv 2 \pmod{3} \), ta có:
  \[
  n^2 + 1 \equiv 2^2 + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}
  \]
  Điều này có nghĩa là \( n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \), không chia hết cho 3.

### Kết luận:
Trong cả 3 trường hợp, \( n^2 + 1 \) đều không chia hết cho 3. Vậy, với mọi \( n \in \mathbb{N} \), \( n^2 + 1 \) không thể chia hết cho 3.

---

Bạn có muốn giải thích thêm về bất kỳ phần nào của bài toán không?

**Câu hỏi mở rộng:**
1. Có những số tự nhiên nào thỏa mãn \( n^2 - 1 \) chia hết cho 3?
2. Làm thế nào để chứng minh \( n^3 + 1 \) chia hết cho 3 với mọi \( n \in \mathbb{N} \)?
3. Với điều kiện nào thì \( n^2 + 2 \) chia hết cho 3?
4. Có những bài toán nào liên quan đến tính chia hết của các đa thức tương tự?
5. Làm sao để áp dụng phương pháp chứng minh tương tự cho các bài toán về số dư?

**Mẹo:** Trong các bài toán chia hết, việc xem xét các trường hợp dựa trên số dư (modulo) là một phương pháp hiệu quả để chứng minh

Explore the proof that n^2 + 1 is never divisible by 3 for all natural numbers. This problem involves number theory concepts, modulo arithmetic, and properties of remainders. Suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation