Misalkan titik (a,b) terletak pada lingkaran x
2 + y
2 = r
2
. Tunjukkan bahwa garis ax + by = r
2 menyinggung
lingkaran di titik (a,b).

Diketahui bahwa titik \((a, b)\) terletak pada lingkaran dengan persamaan:

\[
x^2 + y^2 = r^2
\]

dan garis \(ax + by = r^2\).

Kita akan menunjukkan bahwa garis ini menyinggung lingkaran di titik \((a, b)\).

### Langkah 1: Persamaan lingkaran dan gradien garis

Persamaan lingkaran adalah:

\[
x^2 + y^2 = r^2
\]

Sedangkan persamaan garis adalah:

\[
ax + by = r^2
\]

### Langkah 2: Gradien garis normal

Untuk membuktikan bahwa garis \(ax + by = r^2\) menyinggung lingkaran di titik \((a, b)\), kita perlu menghitung gradien garis tersebut dan gradien garis normal lingkaran di titik \((a, b)\).

Gradien dari garis \(ax + by = r^2\) adalah:

\[
-\frac{a}{b}
\]

Gradien dari garis normal lingkaran di titik \((a, b)\) (yaitu gradien dari jari-jari lingkaran yang melalui titik \((a, b)\)) adalah:

\[
\frac{b}{a}
\]

### Langkah 3: Uji kondisi menyinggung

Dua garis akan saling tegak lurus (orthogonal) jika hasil kali gradiennya adalah \(-1\). Sekarang, mari kita hitung hasil kali gradien dari garis \(ax + by = r^2\) dan garis jari-jari lingkaran di titik \((a, b)\):

\[
-\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = -1
\]

Karena hasilnya adalah \(-1\), ini menunjukkan bahwa garis \(ax + by = r^2\) tegak lurus terhadap garis jari-jari lingkaran di titik \((a, b)\), yang berarti garis tersebut menyinggung lingkaran di titik \((a, b)\).

### Kesimpulan

Garis \(ax + by = r^2\) menyinggung lingkaran dengan persamaan \(x^2 + y^2 = r^2\) di titik \((a, b)\).

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait untuk memperluas pemahaman:
1. Apa definisi umum dari garis singgung pada lingkaran?
2. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik tertentu?
3. Bagaimana jika persamaan lingkaran berubah? Bagaimana pengaruhnya terhadap persamaan garis singgung?
4. Apa hubungan antara gradien dan kondisi singgung untuk berbagai jenis kurva?
5. Bagaimana kita bisa menemukan titik singgung lain pada lingkaran yang sama?

**Tip**: Dalam geometri analitik, selalu perhatikan hubungan antara gradien untuk menentukan kondisi tegak lurus atau sejajar antara dua garis.

Misalkan titik (a,b) terletak pada lingkaran x^2 + y^2 = r^2. Tunjukkan bahwa garis ax + by = r^2 menyinggung lingkaran di titik (a,b).

Learn how to prove that the line ax + by = r^2 is tangent to the circle x^2 + y^2 = r^2 at the point (a,b). This detailed solution includes geometric concepts, key formulas, and theorems like the condition for tangency and gradient relationships. Suitable for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation