Durante um torneio de arremesso de peso, a altura (em metros)
do peso lan ̧cado por uma atleta seguiu a fun ̧c ̃ao y(x) = −0.1x

2 + x + 1.1, em

que x  ́e a distˆancia horizontal (em metros) percorrida pelo peso.
• Determine de que altura o peso foi lan ̧cado.
• Determine a altura m ́axima do peso e a que distˆancia da atleta ela foi
atingida.
• Calcule a distˆancia horizontal percorrida pelo peso at ́e retornar ao ch ̃ao.

A função que descreve a altura do peso lançado é dada por:

\[ y(x) = -0,1x^2 + x + 1,1 \]

Onde \( y(x) \) é a altura em metros, e \( x \) é a distância horizontal percorrida pelo peso, também em metros.

### 1. Determinar a altura de lançamento do peso

A altura de lançamento do peso corresponde ao valor da altura \( y(x) \) quando o peso ainda está na posição inicial, ou seja, quando \( x = 0 \).

Substituindo \( x = 0 \) na função:

\[
y(0) = -0,1(0)^2 + (0) + 1,1 = 1,1
\]

Portanto, a altura inicial do peso é **1,1 metros**.

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### 2. Determinar a altura máxima e a que distância ela foi atingida

A função \( y(x) = -0,1x^2 + x + 1,1 \) é uma parábola com concavidade voltada para baixo (porque o coeficiente de \( x^2 \) é negativo), o que significa que ela tem um ponto de máximo. A distância na qual o peso atinge sua altura máxima corresponde ao **vértice da parábola**.

A fórmula para encontrar a abscissa do vértice (neste caso, a distância \( x \) da atleta) de uma função quadrática \( y(x) = ax^2 + bx + c \) é:

\[
x_v = \frac{-b}{2a}
\]

Aqui, temos \( a = -0,1 \) e \( b = 1 \), então:

\[
x_v = \frac{-1}{2 \times (-0,1)} = \frac{-1}{-0,2} = 5
\]

Portanto, o peso atinge sua altura máxima quando \( x = 5 \) metros.

Agora, para encontrar a altura máxima, substituímos \( x = 5 \) na equação da função:

\[
y(5) = -0,1(5)^2 + (5) + 1,1
\]

Calculando:

\[
y(5) = -0,1(25) + 5 + 1,1 = -2,5 + 5 + 1,1 = 3,6
\]

Portanto, a altura máxima atingida pelo peso é **3,6 metros**, e ela foi atingida a **5 metros** de distância da atleta.

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### 3. Determinar a distância horizontal percorrida até o peso retornar ao chão

O peso retorna ao chão quando a altura \( y(x) \) é igual a 0, ou seja, devemos resolver a equação:

\[
-0,1x^2 + x + 1,1 = 0
\]

Esta é uma equação quadrática, que pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Onde \( a = -0,1 \), \( b = 1 \), e \( c = 1,1 \). Substituímos esses valores na fórmula:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-0,1)(1,1)}}{2(-0,1)}
\]

Calculando o discriminante:

\[
\Delta = 1 - 4(-0,1)(1,1) = 1 + 0,44 = 1,44
\]

Agora, substituímos na fórmula:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1,44}}{-0,2} = \frac{-1 \pm 1,2}{-0,2}
\]

As duas soluções são:

\[
x_1 = \frac{-1 + 1,2}{-0,2} = \frac{0,2}{-0,2} = -1
\]
\[
x_2 = \frac{-1 - 1,2}{-0,2} = \frac{-2,2}{-0,2} = 11
\]

Como a distância não pode ser negativa, descartamos \( x_1 = -1 \) e ficamos com \( x_2 = 11 \).

Portanto, o peso percorreu uma distância horizontal de **11 metros** antes de voltar ao chão.

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### Resumo das respostas:
- A altura de lançamento do peso foi **1,1 metros**.
- A altura máxima foi **3,6 metros** e foi atingida a **5 metros** da atleta.
- A distância horizontal total percorrida foi **11 metros**.

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Tem alguma dúvida ou deseja mais detalhes sobre os cálculos?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como se calcula o ponto de máximo de uma função quadrática?
2. Qual a diferença entre uma função com concavidade voltada para cima e para baixo?
3. Como aplicar a fórmula de Bhaskara em outras situações?
4. O que o discriminante de uma equação quadrática nos indica?
5. Qual seria a interpretação física de uma solução negativa no contexto deste problema?

**Dica**: A altura máxima de um objeto em movimento parabólico sempre ocorre no vértice da trajetória.

Durante um torneio de arremesso de peso, a altura (em metros) do peso lançado por uma atleta seguiu a função y(x) = −0.1x^2 + x + 1.1, em que x é a distância horizontal (em metros) percorrida pelo peso. Determine de que altura o peso foi lançado. Determine a altura máxima do peso e a que distância da atleta ela foi atingida. Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso até retornar ao chão.

Learn how to solve a quadratic function describing the height of a shot put during a tournament: y(x) = -0.1x^2 + x + 1.1. Discover the initial height, maximum height at 3.6 meters, and total horizontal distance of 11 meters. Suitable for Grades 9-11.

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