Mi mamá tiene botones rojos, azules y negros, los botones rojos son 60 más que los negros y los azules son 20 más que los rojos. Cuando confecciono un vestido utilizo 3/8 de botones azules y 3/4 de botones rojos y le sobro 215 botones en total. ¿Cuántos botones en total tuvo al inicio?

Para resolver este problema, necesitamos establecer una serie de ecuaciones basadas en la información proporcionada. Sigamos los pasos para encontrar la cantidad total de botones al inicio.

1. **Definimos las variables:**
   - \( B_n \): número de botones negros.
   - \( B_r \): número de botones rojos.
   - \( B_a \): número de botones azules.

2. **Relaciones dadas:**
   - Los botones rojos son 60 más que los negros: \( B_r = B_n + 60 \).
   - Los botones azules son 20 más que los rojos: \( B_a = B_r + 20 \).

3. **Uso de botones en la confección del vestido:**
   - Utiliza \( \frac{3}{4} \) de los botones rojos y \( \frac{3}{8} \) de los botones azules.
   - Le sobran 215 botones en total después de confeccionar el vestido.

4. **Botones restantes después de la confección:**
   - Botones rojos restantes: \( B_r - \frac{3}{4} B_r = \frac{1}{4} B_r \).
   - Botones azules restantes: \( B_a - \frac{3}{8} B_a = \frac{5}{8} B_a \).
   - Botones negros restantes: \( B_n \) (no se menciona que se usen botones negros).

5. **Sumamos los botones restantes y los igualamos a 215:**
   \[
   \frac{1}{4} B_r + \frac{5}{8} B_a + B_n = 215
   \]

6. **Sustituimos \( B_r \) y \( B_a \) en términos de \( B_n \):**
   - \( B_r = B_n + 60 \).
   - \( B_a = (B_n + 60) + 20 = B_n + 80 \).

7. **Sustituimos estas expresiones en la ecuación de los botones restantes:**
   \[
   \frac{1}{4} (B_n + 60) + \frac{5}{8} (B_n + 80) + B_n = 215
   \]

8. **Resolvemos la ecuación:**
   - Expandimos y simplificamos:
     \[
     \frac{1}{4} B_n + 15 + \frac{5}{8} B_n + 50 + B_n = 215
     \]
   - Combinamos términos:
     \[
     \left(\frac{1}{4} + \frac{5}{8} + 1\right) B_n + 65 = 215
     \]
     \[
     \left(\frac{2}{8} + \frac{5}{8} + \frac{8}{8}\right) B_n + 65 = 215
     \]
     \[
     \left(\frac{15}{8}\right) B_n + 65 = 215
     \]

9. **Aislamos \( B_n \):**
   \[
   \frac{15}{8} B_n = 150
   \]
   \[
   B_n = 150 \times \frac{8}{15}
   \]
   \[
   B_n = 80
   \]

10. **Encontramos \( B_r \) y \( B_a \):**
    - \( B_r = B_n + 60 = 80 + 60 = 140 \).
    - \( B_a = B_r + 20 = 140 + 20 = 160 \).

11. **Calculamos el total de botones al inicio:**
    \[
    B_n + B_r + B_a = 80 + 140 + 160 = 380
    \]

Por lo tanto, al inicio, había un total de **380 botones**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo podríamos verificar la solución usando otros métodos?
2. ¿Qué pasaría si los botones negros fueran 70 más que los rojos?
3. ¿Cómo cambiaría la ecuación si se utilizara la mitad de los botones azules?
4. ¿Qué otros problemas similares se pueden resolver con sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo se pueden graficar estas ecuaciones para visualizar la solución?
6. ¿Qué conceptos matemáticos son clave para resolver este tipo de problemas?
7. ¿Cómo afectan los cambios en los porcentajes de uso de botones al resultado final?
8. ¿Qué técnicas se utilizan para resolver ecuaciones lineales con más de dos variables?

**Tip:** Siempre verifica la solución sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales para asegurarte de que son correctos.

Explore how to solve a complex problem involving systems of equations and fractional equations. Understand step-by-step how to determine the initial total number of buttons based on given conditions about red, blue, and black buttons. Suitable for advanced high school students.

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