De um lote de 20 rifas, em que 8 têm prémio e 12 não têm, retiraram-se 7. Qual
a probabilidade de haver 3 premiadas e 4 não premiadas nas rifas retiradas?

Para calcular a probabilidade de haver exatamente 3 rifas premiadas e 4 não premiadas entre as 7 rifas retiradas de um lote de 20 rifas, podemos utilizar o conceito de **probabilidade hipergeométrica**. A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
\]

Onde:
- \( N \) é o número total de rifas (20 rifas).
- \( K \) é o número de rifas premiadas (8 rifas).
- \( n \) é o número de rifas retiradas (7 rifas).
- \( k \) é o número de rifas premiadas desejadas entre as retiradas (3 rifas).
- \( \binom{a}{b} \) é a combinação de \( a \) elementos tomados \( b \) de cada vez.

Agora, substituímos os valores na fórmula:

1. **Número total de rifas (\(N\))**: 20
2. **Número de rifas premiadas (\(K\))**: 8
3. **Número de rifas retiradas (\(n\))**: 7
4. **Número de rifas premiadas desejadas (\(k\))**: 3

### Passo 1: Calcular as combinações

- \(\binom{K}{k} = \binom{8}{3}\): Combinação de 8 rifas premiadas escolhendo 3.
- \(\binom{N-K}{n-k} = \binom{12}{4}\): Combinação de 12 rifas não premiadas escolhendo 4.
- \(\binom{N}{n} = \binom{20}{7}\): Combinação total de 20 rifas escolhendo 7.

### Passo 2: Substituir na fórmula

\[
P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{12}{4}}{\binom{20}{7}}
\]

### Passo 3: Calcular as combinações específicas

- \(\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)
- \(\binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\)
- \(\binom{20}{7} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520\)

### Passo 4: Substituir os valores e calcular a probabilidade

\[
P(X = 3) = \frac{56 \times 495}{77520} = \frac{27720}{77520} \approx 0,3576
\]

Portanto, a probabilidade de retirar exatamente 3 rifas premiadas e 4 não premiadas é aproximadamente **35,76%**.

---

Gostaria de mais detalhes sobre algum dos passos ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como calcular a probabilidade de retirar pelo menos 3 rifas premiadas?
2. Como a probabilidade muda se retirarmos 5 rifas em vez de 7?
3. Como aplicar essa fórmula em outros contextos, como jogos de loteria?
4. Como podemos verificar a validade dessa fórmula em experimentos práticos?
5. Qual seria a probabilidade se todas as rifas fossem retiradas?

**Dica:** A probabilidade hipergeométrica é especialmente útil em situações onde não há reposição, o que significa que cada retirada altera as condições para a próxima.

Descubra a probabilidade de retirar exatamente 3 rifas premiadas e 4 não premiadas de um lote de 20 rifas, onde 8 são premiadas. Aprenda a aplicar a fórmula da probabilidade hipergeométrica passo a passo.

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