Resuelva los siguientes ejercicios usando productos notables\left(\frac{3xy^2}{5}-\frac{\sqrt{5y}}{2}\right)^3

Para resolver el ejercicio utilizando productos notables, expandamos la expresión \(\left( \frac{3xy^2}{5} - \frac{\sqrt{5y}}{2} \right)^3\). Esta es una diferencia de cubos. Podemos aplicar la fórmula del cubo de un binomio, que es:

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Donde \(a = \frac{3xy^2}{5}\) y \(b = \frac{\sqrt{5y}}{2}\).

### Paso 1: Calcular \(a^3\)
\[
a^3 = \left(\frac{3xy^2}{5}\right)^3 = \frac{(3xy^2)^3}{5^3} = \frac{27x^3y^6}{125}
\]

### Paso 2: Calcular \(b^3\)
\[
b^3 = \left(\frac{\sqrt{5y}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{5y})^3}{2^3} = \frac{5^{3/2}y^{3/2}}{8}
\]

### Paso 3: Calcular \(3a^2b\)
\[
3a^2b = 3 \left(\frac{3xy^2}{5}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{5y}}{2} = 3 \cdot \frac{(3xy^2)^2}{25} \cdot \frac{\sqrt{5y}}{2} = 3 \cdot \frac{9x^2y^4}{25} \cdot \frac{\sqrt{5y}}{2}
\]
\[
= \frac{27x^2y^4 \cdot \sqrt{5y}}{50} = \frac{27x^2y^4 \cdot \sqrt{5} \cdot y^{1/2}}{50} = \frac{27x^2y^{9/2} \sqrt{5}}{50}
\]

### Paso 4: Calcular \(3ab^2\)
\[
3ab^2 = 3 \cdot \frac{3xy^2}{5} \cdot \left( \frac{\sqrt{5y}}{2} \right)^2 = 3 \cdot \frac{3xy^2}{5} \cdot \frac{5y}{4} = 3 \cdot \frac{3xy^2 \cdot 5y}{20} = \frac{45xy^3}{20} = \frac{9xy^3}{4}
\]

### Resultado final

Al juntar todos los términos:

\[
\left( \frac{3xy^2}{5} - \frac{\sqrt{5y}}{2} \right)^3 = \frac{27x^3y^6}{125} - \frac{27x^2y^{9/2}\sqrt{5}}{50} + \frac{9xy^3}{4} - \frac{5^{3/2}y^{3/2}}{8}
\]

Si tienes alguna duda o necesitas más detalles, no dudes en preguntar.

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el cubo de un binomio en otros casos?
2. ¿Cómo simplificar expresiones con raíces y exponentes fraccionarios?
3. ¿Qué es el producto notable de una suma o resta al cubo?
4. ¿Cómo resolver ecuaciones con productos notables en álgebra?
5. ¿Qué otros productos notables se pueden usar para simplificar expresiones?

### Tip: Al trabajar con raíces y exponentes, recuerda usar propiedades de potencias para simplificar.

Learn how to expand and simplify the expression (3xy^2/5 - sqrt(5y)/2)^3 using the binomial theorem and notable products. This step-by-step solution covers polynomial expansion, exponent rules, and cube formulas, ideal for students in Grades 10-12.

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