Le suite (Un) définie par Un=n-5n²
limx→−∞Un=0
limx→+∞Un=+∞
limx→+∞Un=−∞
n'a pas de limiteCHOISI LA BONNE REPONSE

La suite \((U_n)\) est définie par la formule :

\[
U_n = n - 5n^2
\]

Pour déterminer son comportement à l'infini, nous devons analyser les limites de \((U_n)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\).

1. **Lorsque \(n \to +\infty\)** :  
   Le terme dominant dans l'expression \(n - 5n^2\) est le terme en \(n^2\), car il croît plus rapidement que \(n\). Comme le coefficient de \(n^2\) est négatif (\(-5n^2\)), cela signifie que \(U_n\) tend vers \(-\infty\). Donc :

   \[
   \lim_{n \to +\infty} U_n = -\infty
   \]

2. **Lorsque \(n \to -\infty\)** :  
   Si on analyse à nouveau \(U_n = n - 5n^2\), le terme dominant reste encore \(-5n^2\). Mais quand \(n\) est négatif, \(n^2\) reste positif, donc le terme \(-5n^2\) est toujours négatif et domine. Cela implique aussi que \(U_n\) tend vers \(-\infty\) lorsque \(n \to -\infty\). Donc :

   \[
   \lim_{n \to -\infty} U_n = -\infty
   \]

Ainsi, la bonne réponse est que la suite **n'a pas de limite**.

### Veux-tu des détails supplémentaires ou as-tu des questions sur cette explication ? 

Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir :
1. Qu'est-ce qu'une limite finie et comment la calculer pour une suite ?
2. Comment déterminer quel terme domine dans une suite polynomiale ?
3. Quelle est la différence entre une limite à l'infini et une limite en un point ?
4. Comment pourrait-on visualiser graphiquement le comportement de \( U_n \) ?
5. Est-ce qu'une suite peut avoir plusieurs limites selon les sous-suites considérées ?

**Tip** : Lorsque tu examines une suite polynomiale, concentre-toi toujours sur le terme dominant pour estimer les limites à l'infini.

Le suite (Un) définie par Un=n-5n²
limx→−∞Un=0
limx→+∞Un=+∞
limx→+∞Un=−∞ n'a pas de limite CHOISI LA BONNE REPONSE

Explore the behavior of the sequence Un = n - 5n^2 as n tends towards infinity and negative infinity. This problem covers key concepts in sequences and limits, suitable for students in Grades 10-12.

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