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fais moi cet exo correctement  et en détail a la perfection, mrc 

L'exercice décrit un pendule pesant constitué d'un fil sans masse et d'un point matériel \( M \) de masse \( m \), suspendu à un point fixe \( O \). Le système de coordonnées utilise l'axe \( O y \) comme axe vertical. Deux forces s'exercent sur \( M \) : 

1. Le poids \( \vec{P} \) de norme \( P = mg \) dirigé verticalement vers le bas.
2. La tension \( \vec{T} \) du fil de norme \( T \), qui est orientée le long du fil.

Le but de l'exercice est de déterminer les composantes de ces forces dans la base orthonormée \( (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \), qui est définie dans le repère polaire comme suit :
- \( \vec{u}_r \) est la direction radiale (dirigée du point \( O \) vers \( M \)).
- \( \vec{u}_\theta \) est la direction orthogonale à \( \vec{u}_r \) dans le plan (tangente à la trajectoire circulaire du pendule).

### 1. Décomposition des forces dans la base \( (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \)

#### Tension \( \vec{T} \)
La tension \( \vec{T} \) est toujours orientée le long du fil, ce qui signifie qu'elle est dans la direction radiale \( \vec{u}_r \). Ainsi, elle n'a pas de composante dans la direction tangente \( \vec{u}_\theta \).

On peut donc écrire :
\[
\vec{T} = -T \vec{u}_r
\]
Le signe négatif indique que la tension est orientée vers \( O \) (dans la direction opposée à \( \vec{u}_r \)).

#### Poids \( \vec{P} \)
Le poids \( \vec{P} = mg \vec{e}_y \) est vertical et orienté vers le bas. Pour exprimer \( \vec{P} \) dans la base \( (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \), nous devons projeter \( \vec{P} \) sur ces deux directions en fonction de l'angle \( \theta \).

Dans le système de coordonnées polaires :
- La direction radiale \( \vec{u}_r \) forme un angle \( \theta \) par rapport à la verticale (l'axe \( y \)).
- La direction tangente \( \vec{u}_\theta \) est perpendiculaire à \( \vec{u}_r \).

La projection du poids \( \vec{P} \) sur les axes \( \vec{u}_r \) et \( \vec{u}_\theta \) donne :
\[
\vec{P} = -mg \cos(\theta) \vec{u}_r + mg \sin(\theta) \vec{u}_\theta
\]
Le terme \( -mg \cos(\theta) \) correspond à la composante radiale de \( \vec{P} \), et le terme \( mg \sin(\theta) \) correspond à la composante tangente de \( \vec{P} \).

### 2. Résumé des composantes des forces
Nous avons donc les composantes suivantes pour les deux forces :

- Pour la tension \( \vec{T} \) :
  \[
  \vec{T} = -T \vec{u}_r
  \]
- Pour le poids \( \vec{P} \) :
  \[
  \vec{P} = -mg \cos(\theta) \vec{u}_r + mg \sin(\theta) \vec{u}_\theta
  \]

### 3. Analyse des équilibres

En général, si le pendule est à l'équilibre (ou en mouvement), il y a des conditions liées à l'accélération centripète et à l'accélération angulaire. Mais ici, l'exercice se concentre uniquement sur la décomposition des forces, donc les composantes des forces sont directement liées à la géométrie du système.

### Conclusion

Nous avons décomposé les forces dans la base orthonormée \( (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \). Le poids a des composantes dans les deux directions \( \vec{u}_r \) et \( \vec{u}_\theta \), tandis que la tension est entièrement dans la direction \( \vec{u}_r \).

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**Questions relatives :**
1. Comment déterminer la condition d'équilibre pour ce pendule en tenant compte de la tension et du poids ?
2. Comment varie la tension en fonction de l'angle \( \theta \) si on considère un mouvement oscillant ?
3. Comment le poids affecte-t-il l'accélération angulaire du pendule ?
4. Comment utiliser ces forces pour déterminer la période d'oscillation du pendule ?
5. Que se passe-t-il pour les composantes des forces si l'angle \( \theta \) tend vers 0 ou vers \( \pi \) ?

**Tip** : Pour mieux comprendre les forces dans un pendule, pensez à utiliser le formalisme lagrangien qui simplifie la dynamique en coordonnées généralisées.

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Detailed solution of a pendulum problem involving force decomposition in the polar coordinate system (\( \vec{u}_r \) and \( \vec{u}_\theta \)). Learn how to calculate tension and weight components for a pendulum in terms of the angle \( \theta \), suitable for university physics students.

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