haz la siguiente division entre polinomios, 3x4-7x2+5x2-2x+1 dividido x+2

Para realizar la división de polinomios \( \frac{3x^4 - 7x^2 + 5x^2 - 2x + 1}{x + 2} \), seguiremos el método de **división sintética** o **división larga de polinomios**.

### Paso 1: Simplificar el polinomio en el numerador

Primero, notemos que los términos \( -7x^2 \) y \( +5x^2 \) se pueden combinar:

\[
3x^4 - 7x^2 + 5x^2 - 2x + 1 = 3x^4 - 2x^2 - 2x + 1
\]

### Paso 2: Dividir el polinomio usando división larga

Dividimos \( 3x^4 - 2x^2 - 2x + 1 \) entre \( x + 2 \).

1. **Primer paso**: Dividimos el primer término de \( 3x^4 \) por el primer término de \( x \). Esto nos da \( 3x^3 \).

   Multiplicamos \( 3x^3 \) por \( x + 2 \), lo que resulta en \( 3x^4 + 6x^3 \). Restamos esto de \( 3x^4 - 2x^2 - 2x + 1 \):

   \[
   (3x^4 - 2x^2 - 2x + 1) - (3x^4 + 6x^3) = -6x^3 - 2x^2 - 2x + 1
   \]

2. **Segundo paso**: Dividimos el primer término de \( -6x^3 \) por el primer término de \( x \). Esto nos da \( -6x^2 \).

   Multiplicamos \( -6x^2 \) por \( x + 2 \), lo que resulta en \( -6x^3 - 12x^2 \). Restamos esto de \( -6x^3 - 2x^2 - 2x + 1 \):

   \[
   (-6x^3 - 2x^2 - 2x + 1) - (-6x^3 - 12x^2) = 10x^2 - 2x + 1
   \]

3. **Tercer paso**: Dividimos el primer término de \( 10x^2 \) por el primer término de \( x \). Esto nos da \( 10x \).

   Multiplicamos \( 10x \) por \( x + 2 \), lo que resulta en \( 10x^2 + 20x \). Restamos esto de \( 10x^2 - 2x + 1 \):

   \[
   (10x^2 - 2x + 1) - (10x^2 + 20x) = -22x + 1
   \]

4. **Cuarto paso**: Dividimos el primer término de \( -22x \) por el primer término de \( x \). Esto nos da \( -22 \).

   Multiplicamos \( -22 \) por \( x + 2 \), lo que resulta en \( -22x - 44 \). Restamos esto de \( -22x + 1 \):

   \[
   (-22x + 1) - (-22x - 44) = 45
   \]

### Resultado final:

La división de \( 3x^4 - 2x^2 - 2x + 1 \) entre \( x + 2 \) nos da:

\[
3x^3 - 6x^2 + 10x - 22 + \frac{45}{x + 2}
\]

Por lo tanto, el cociente es \( 3x^3 - 6x^2 + 10x - 22 \) y el residuo es \( 45 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es la división sintética y cómo se aplica en polinomios?
2. ¿Cómo se puede verificar la corrección de la división entre polinomios?
3. ¿Qué diferencias hay entre la división sintética y la división larga de polinomios?
4. ¿Cómo se maneja un residuo en la división de polinomios?
5. ¿Cómo se combinan términos semejantes en polinomios?

**Tip**: Para verificar una división de polinomios, puedes multiplicar el cociente por el divisor y sumar el residuo. El resultado debe ser el dividendo original.

Learn how to solve the polynomial division problem 3x^4 - 2x^2 - 2x + 1 divided by x + 2 using long division. This detailed step-by-step solution covers essential algebraic concepts and techniques for polynomial division. Suitable for students in Grades 9-12.

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