Sabe-se que para uma dada matriz A, se Ax=λx, com λ sendo um escalar e x um vetor, x é dito autovetor de A e λ um autovalor. Logo, podemos dizer que λ é autovalor de A se e somente se satisfaz a equação característica de A, det(λI - A)=0, onde I é a matriz identidade. Se expandida a equação pode formar o polinômio característico de A p(λ). Seja A a matriz:
0,1,0
0,0,1
4,-17,8
Calcule seu polinômio característico e seus autovalores. 

Para encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz \( A \), primeiramente, precisamos calcular o determinante de \( \lambda I - A \), onde \( I \) é a matriz identidade de ordem 3.

Dada a matriz:

\[
A = 
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
4 & -17 & 8
\end{bmatrix},
\]

o polinômio característico é dado por:

\[
\det(\lambda I - A) = 0.
\]

Substituindo \( \lambda I - A \):

\[
\lambda I - A = 
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}
- 
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
4 & -17 & 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda & -1 & 0 \\
0 & \lambda & -1 \\
-4 & 17 & \lambda - 8
\end{bmatrix}.
\]

Agora, vamos calcular o determinante desta matriz. 

\[
\det\left(\begin{bmatrix}
\lambda & -1 & 0 \\
0 & \lambda & -1 \\
-4 & 17 & \lambda - 8
\end{bmatrix}\right).
\]

Vou calcular o determinante para encontrar o polinômio característico e os autovalores.O polinômio característico da matriz \( A \) é:

\[
p(\lambda) = \lambda^3 - 8\lambda^2 + 17\lambda - 4.
\]

Agora, para encontrar os autovalores, vamos resolver a equação \( p(\lambda) = 0 \). Vou calcular os autovalores.Os autovalores da matriz \( A \) são:

\[
\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 2 - \sqrt{3}, \quad \lambda_3 = 2 + \sqrt{3}.
\]

Esses são os valores de \(\lambda\) que satisfazem o polinômio característico \( \lambda^3 - 8\lambda^2 + 17\lambda - 4 = 0 \).

### Perguntas Relacionadas:
1. Como calcular os autovetores correspondentes a esses autovalores?
2. Qual é a interpretação geométrica dos autovalores?
3. Como o traço e o determinante da matriz \( A \) se relacionam com seus autovalores?
4. Quais são as aplicações dos autovalores e autovetores em problemas práticos?
5. Como a matriz de Jordan está relacionada aos autovalores?

**Dica:** Os autovalores determinam o comportamento dinâmico dos sistemas lineares associados, sendo essenciais em análise de estabilidade e outras aplicações.

Calcule o polinômio característico e os autovalores da matriz A = [0,1,0; 0,0,1; 4,-17,8]. Aprenda sobre equações características, autovalores e autovetores em álgebra linear. Problema adequado para nível de pós-graduação.

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