Encuentre una base ortonormal en R^2 que incluya al vector v = (5, 2)

Para encontrar una base ortonormal en \( \mathbb{R}^2 \) que incluya al vector \( v = (5, 2) \), podemos usar el **proceso de Gram-Schmidt** para ortonormalizar un conjunto de vectores que incluye a \( v \). Los pasos son los siguientes:

### Paso 1: Normalizar el vector \( v = (5, 2) \)

El primer paso es encontrar un vector unitario en la dirección de \( v \). Para normalizar \( v \), calculamos su norma:

\[
\| v \| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
\]

Entonces, el vector unitario \( u_1 \) en la dirección de \( v \) es:

\[
u_1 = \frac{v}{\| v \|} = \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right)
\]

### Paso 2: Encontrar un segundo vector ortogonal

En \( \mathbb{R}^2 \), podemos obtener un vector ortogonal a \( u_1 \) tomando cualquier vector que no sea paralelo a \( v \). Por simplicidad, tomemos un vector básico como \( w = (1, 0) \).

### Paso 3: Aplicar Gram-Schmidt para ortogonalizar

Queremos proyectar \( w = (1, 0) \) sobre \( u_1 \) y restar esa proyección de \( w \) para obtener un vector ortogonal a \( u_1 \).

La proyección de \( w \) sobre \( u_1 \) es:

\[
\text{Proy}_{u_1}(w) = \left( \frac{w \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} \right) u_1
\]

Primero, calculamos el producto punto \( w \cdot u_1 \):

\[
w \cdot u_1 = 1 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} + 0 \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}
\]

La proyección es entonces:

\[
\text{Proy}_{u_1}(w) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right) = \left( \frac{25}{29}, \frac{10}{29} \right)
\]

Ahora restamos esta proyección del vector \( w = (1, 0) \):

\[
v_2 = w - \text{Proy}_{u_1}(w) = \left( 1, 0 \right) - \left( \frac{25}{29}, \frac{10}{29} \right) = \left( 1 - \frac{25}{29}, 0 - \frac{10}{29} \right) = \left( \frac{4}{29}, -\frac{10}{29} \right)
\]

### Paso 4: Normalizar el segundo vector ortogonal

Ahora normalizamos \( v_2 = \left( \frac{4}{29}, -\frac{10}{29} \right) \):

\[
\| v_2 \| = \sqrt{\left( \frac{4}{29} \right)^2 + \left( -\frac{10}{29} \right)^2} = \sqrt{\frac{16}{841} + \frac{100}{841}} = \sqrt{\frac{116}{841}} = \frac{\sqrt{116}}{29} = \frac{2\sqrt{29}}{29}
\]

El vector unitario \( u_2 \) es:

\[
u_2 = \frac{v_2}{\| v_2 \|} = \frac{\left( \frac{4}{29}, -\frac{10}{29} \right)}{\frac{2\sqrt{29}}{29}} = \left( \frac{4}{2\sqrt{29}}, \frac{-10}{2\sqrt{29}} \right) = \left( \frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-5}{\sqrt{29}} \right)
\]

### Paso 5: Resultado

La base ortonormal en \( \mathbb{R}^2 \) que incluye a \( v = (5, 2) \) es:

\[
u_1 = \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right), \quad u_2 = \left( \frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-5}{\sqrt{29}} \right)
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva el proceso de Gram-Schmidt?
2. ¿Cuál es la importancia de una base ortonormal?
3. ¿Cómo afecta la dimensión del espacio a este proceso?
4. ¿Qué significa la proyección de un vector sobre otro?
5. ¿Se puede aplicar Gram-Schmidt en espacios con dimensión mayor a 2?

**Tip:** Al normalizar un vector, siempre asegúrate de calcular correctamente la longitud del vector para evitar errores en el paso de normalización.

This solution explains how to find an orthonormal basis in R^2 that includes the vector v = (5, 2) using the Gram-Schmidt process. Detailed steps include vector normalization, orthogonalization, and projection. Suitable for students in undergraduate linear algebra courses.

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