Un vendedor es capaz de vender 𝑥 unidades de un producto por mes a un precio unitario dado por la expresión 𝑃(𝑥) = 75 − 0,5𝑥 pesos. 
a)	El costo total mensual de los productos es 𝐶(𝑥) = 0,2𝑥 2 + 8𝑥 + 320 pesos.

b) Determina la cantidad de productos a vender para que la utilidad sea máxima


Para resolver este problema y determinar la cantidad de productos \(x\) que maximiza la utilidad, sigamos los siguientes pasos.

### 1. Definición de la utilidad
La **utilidad** (U) es la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales.

#### a) Ingresos totales
Los **ingresos totales** (\(I(x)\)) dependen del número de unidades vendidas y el precio de venta por unidad \(P(x)\). El precio de venta por unidad está dado por:
\[
P(x) = 75 - 0,5x
\]
Por lo tanto, los ingresos totales son:
\[
I(x) = P(x) \cdot x = (75 - 0,5x) \cdot x = 75x - 0,5x^2
\]

#### b) Costo total
El **costo total** está dado por:
\[
C(x) = 0,2x^2 + 8x + 320
\]

#### c) Utilidad total
La utilidad total \(U(x)\) es la diferencia entre los ingresos totales \(I(x)\) y los costos totales \(C(x)\):
\[
U(x) = I(x) - C(x)
\]
Sustituyendo las expresiones:
\[
U(x) = (75x - 0,5x^2) - (0,2x^2 + 8x + 320)
\]
Simplificando la expresión:
\[
U(x) = 75x - 0,5x^2 - 0,2x^2 - 8x - 320
\]
\[
U(x) = -0,7x^2 + 67x - 320
\]

### 2. Maximización de la utilidad
Para maximizar la utilidad, derivamos \(U(x)\) respecto a \(x\) y luego igualamos a 0.

\[
U'(x) = \frac{d}{dx}(-0,7x^2 + 67x - 320)
\]
\[
U'(x) = -1,4x + 67
\]

Ahora, igualamos la derivada a 0 para encontrar el valor de \(x\) que maximiza la utilidad:
\[
-1,4x + 67 = 0
\]
\[
x = \frac{67}{1,4} = 47,86
\]

### 3. Resultado
La cantidad de productos que debe vender para que la utilidad sea máxima es aproximadamente **48 unidades**.

---

¿Te gustaría que detalle más el proceso o tienes alguna duda?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el punto en que la derivada de la utilidad es 0?
2. ¿Qué significa una derivada negativa en el contexto de la maximización?
3. ¿Qué sucede si el costo total cambia? ¿Cómo afecta a la utilidad?
4. ¿Cómo influye el precio por unidad en la maximización de la utilidad?
5. ¿Qué técnicas alternativas hay para maximizar la utilidad?

**Tip:** Al derivar, asegúrate de simplificar correctamente antes de igualar a 0 para evitar errores.

Un vendedor es capaz de vender x unidades de un producto por mes a un precio unitario dado por la expresión P(x) = 75 − 0,5x pesos. El costo total mensual de los productos es C(x) = 0,2x^2 + 8x + 320 pesos. Determina la cantidad de productos a vender para que la utilidad sea máxima.

Learn how to determine the optimal number of products a vendor should sell to maximize profit. This problem involves key concepts in algebra and calculus, including revenue, cost functions, and optimization through derivatives. Suitable for students in Grades 10-12.

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