某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件，（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

这个问题涉及利润的计算和利润最大化问题。我们来逐步解决这个问题。

### (1) 降价前每星期的销售利润

- **每件滑板的进价**：100元
- **每件滑板的售价**：130元
- **每星期销售数量**：80件

每星期的销售收入为：
\[ \text{收入} = 130 \times 80 = 10400 \text{元} \]

每星期的成本为：
\[ \text{成本} = 100 \times 80 = 8000 \text{元} \]

所以，每星期的销售利润为：
\[ \text{利润} = \text{收入} - \text{成本} = 10400 - 8000 = 2400 \text{元} \]

**结论**：降价前每星期的销售利润为 **2400元**。

### (2) 降价后利润最大化问题

设降价的次数为 \( n \) 次，每次降价5元，则降价后售价为：
\[ \text{售价} = 130 - 5n \text{元} \]

每星期销售的滑板数量为：
\[ \text{销售数量} = 80 + 20n \text{件} \]

每星期的销售收入为：
\[ \text{收入} = （130 - 5n）\times（80 + 20n）\]

每星期的成本不变，为：
\[ \text{成本} = 100 \times (80 + 20n) = 8000 + 2000n \]

因此，每星期的利润函数为：
\[ \text{利润} P(n) = \text{收入} - \text{成本} = （130 - 5n）\times（80 + 20n） - （8000 + 2000n）\]

接下来，我们需要化简这个利润函数 \(P(n)\)，并求其最大值。

化简：
\[ P(n) = （130 - 5n）\times（80 + 20n） - 8000 - 2000n \]
\[ P(n) = 130 \times 80 + 130 \times 20n - 5n \times 80 - 5n \times 20n - 8000 - 2000n \]
\[ P(n) = 10400 + 2600n - 400n - 100n^2 - 8000 - 2000n \]
\[ P(n) = 2400 + 200n - 100n^2 \]

这是一个开口向下的二次函数，表示一个抛物线。我们知道，二次函数的最大值出现在顶点。

顶点公式为：
\[ n = -\frac{b}{2a} \]

这里 \( a = -100 \)， \( b = 200 \)，所以：
\[ n = -\frac{200}{2 \times -100} = 1 \]

即，当降价1次（降价5元时），利润达到最大值。

此时的售价为：
\[ \text{售价} = 130 - 5 \times 1 = 125 \text{元} \]

此时的最大利润为：
\[ P(1) = 2400 + 200 \times 1 - 100 \times 1^2 = 2400 + 200 - 100 = 2500 \text{元} \]

**结论**：
- 商家降价后，要使每星期的销售利润最大，售价应定为 **125元**。
- 最大销售利润为 **2500元**。

你有任何问题吗？需要进一步的解释吗？

这里有五个相关问题供你参考：
1. 如果降价10元，利润会是多少？
2. 如果滑板的进价上升到120元，利润会发生什么变化？
3. 在不降价的情况下，通过增加销量（不改变价格），利润最大化的途径有哪些？
4. 如果市场调查显示每次降价只能增加10件销售量，利润最大化时售价应该是多少？
5. 假设商店每星期的固定成本增加了500元，利润最大化时的售价是否会变化？

**提示**: 在解决涉及利润最大化的二次函数问题时，记得首先找到函数的顶点，这是最大值或最小值所在的位置。

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