Un ganadero desea acercar un prado rectangular junto a un río. El prado ha de tener 180,000 m² para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener el prado para que requiera la menor cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río?

Para resolver este problema, primero debemos establecer una función que represente la cantidad de cerca necesaria y luego optimizarla para encontrar las dimensiones que minimicen esa cantidad.

### Paso 1: Definir las variables
- Sea \( x \) el ancho del prado (paralelo al río).
- Sea \( y \) el largo del prado (perpendicular al río).

### Paso 2: Expresar el área
El área del prado es de 180,000 m², por lo que:
\[
x \cdot y = 180,000
\]
De aquí, podemos expresar \( y \) en términos de \( x \):
\[
y = \frac{180,000}{x}
\]

### Paso 3: Función para la cantidad de cerca necesaria
Como no es necesario cercar el lado que da al río, solo se necesita cercar los otros tres lados. La cantidad de cerca necesaria, \( C \), es:
\[
C = 2y + x
\]
Sustituyendo \( y = \frac{180,000}{x} \) en esta ecuación:
\[
C(x) = 2\left(\frac{180,000}{x}\right) + x
\]
\[
C(x) = \frac{360,000}{x} + x
\]

### Paso 4: Optimizar la función
Para minimizar \( C(x) \), derivamos \( C(x) \) con respecto a \( x \) y la igualamos a cero para encontrar el valor crítico:
\[
C'(x) = -\frac{360,000}{x^2} + 1
\]
Igualando a cero:
\[
-\frac{360,000}{x^2} + 1 = 0
\]
\[
\frac{360,000}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 = 360,000
\]
\[
x = \sqrt{360,000} \approx 600 \text{ m}
\]

### Paso 5: Encontrar \( y \)
Con \( x = 600 \) m, calculamos \( y \) usando la ecuación del área:
\[
y = \frac{180,000}{600} = 300 \text{ m}
\]

### Conclusión
Las dimensiones que minimizan la cantidad de cerca necesaria son:
- Ancho \( x = 600 \) m
- Largo \( y = 300 \) m

Estas dimensiones requieren la menor cantidad de cerca posible, dado que no es necesario cercar el lado que da al río.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué ocurriría si el prado no estuviera junto a un río?
2. ¿Cómo cambiaría el problema si el área requerida fuera diferente?
3. ¿Qué otros métodos podrían usarse para optimizar la cantidad de cerca?
4. ¿Cómo afectaría un cambio en las dimensiones del terreno disponible a la solución?
5. ¿Qué sucedería si se tuviera que cercar también el lado del río?

**Tip:** Al optimizar funciones en problemas geométricos, es útil usar derivadas para encontrar valores críticos que minimicen o maximicen la función objetivo.

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