Sebuah perusahaan elektronika membuat dua model radio, masing-masing disebuah lini produksi yang terpisah. Kapasitas harian dari lini pertama adalah 60 radio dan lini kedua adalah 75 radio. Setiap unit model pertama menggunakan 10 butir komponen elektronik tertentu, sementara unit model kedua memerlukan 8 butir komponen yang sama. Ketersediaan harian maksimum untuk komponen khusus itu adalah 800 butir. Laba per unit model 1 dan 2 adalah $30 dan $20 secara berurutan.
Tentukan produksi harian optimum untuk setiap model dan berikan komentar Anda dari pemecahan yang di peroleh.


Masalah ini adalah masalah optimasi linear yang bisa diselesaikan menggunakan metode pemrograman linear. Tujuan dari masalah ini adalah untuk memaksimalkan laba dengan mempertimbangkan batasan kapasitas produksi dan ketersediaan komponen elektronik.

Mari kita definisikan variabel keputusan:
- $ x_1 $: Jumlah radio model 1 yang diproduksi per hari.
- $ x_2 $: Jumlah radio model 2 yang diproduksi per hari.

### Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan kita adalah memaksimalkan laba total:

\[
Z = 30x_1 + 20x_2
\]

### Batasan
Ada beberapa batasan yang harus diperhatikan:

1. **Kapasitas Produksi**:
   - Untuk lini pertama (model 1): $ x_1 \leq 60 $
   - Untuk lini kedua (model 2): $ x_2 \leq 75 $

2. **Ketersediaan Komponen Elektronik**:
   - Setiap unit model 1 menggunakan 10 komponen, dan setiap unit model 2 menggunakan 8 komponen. Batasan ketersediaan komponen adalah 800 butir per hari:
   
\[
10x_1 + 8x_2 \leq 800
\]

3. **Non-negativitas**:
   - $ x_1 \geq 0 $
   - $ x_2 \geq 0 $

### Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan mencari titik sudut dari himpunan penyelesaian yang layak (feasible region) dan mengevaluasi fungsi tujuan pada titik-titik tersebut.

Mari kita selesaikan sistem ini:

1. Titik A: $x_1 = 0, x_2 = 0$
   \[
   Z = 30(0) + 20(0) = 0
   \]

2. Titik B: $x_1 = 0, x_2 = 75$ (batasan kapasitas lini kedua)
   \[
   Z = 30(0) + 20(75) = 1500
   \]
   Tetapi kita harus memeriksa apakah ini memenuhi batasan komponen:
   \[
   10(0) + 8(75) = 600 \leq 800 \quad (\text{memenuhi})
   \]

3. Titik C: $x_1 = 60, x_2 = 0$ (batasan kapasitas lini pertama)
   \[
   Z = 30(60) + 20(0) = 1800
   \]
   Periksa batasan komponen:
   \[
   10(60) + 8(0) = 600 \leq 800 \quad (\text{memenuhi})
   \]

4. Titik D: Titik potong batasan komponen $10x_1 + 8x_2 = 800$ dengan $x_1 = 60$ (kapasitas lini pertama)
   
   Pertama, kita cari $x_2$ saat $x_1 = 60$:
   \[
   10(60) + 8x_2 = 800
   \]
   \[
   600 + 8x_2 = 800
   \]
   \[
   8x_2 = 200 \implies x_2 = 25
   \]
   Maka, titik D adalah $(60, 25)$.

   Evaluasi fungsi tujuan di titik D:
   \[
   Z = 30(60) + 20(25) = 1800 + 500 = 2300
   \]

### Kesimpulan
Laba maksimum diperoleh pada titik $x_1 = 60$ dan $x_2 = 25$ dengan laba total **$2300**.

**Komentar:**
Perusahaan harus memproduksi 60 unit radio model 1 dan 25 unit radio model 2 setiap hari untuk memaksimalkan laba mereka, dengan penggunaan komponen elektronik yang tepat sesuai dengan batasan yang ada.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana jika ketersediaan komponen meningkat menjadi 1000 butir per hari?
2. Bagaimana cara menentukan apakah suatu solusi optimum bersifat global atau lokal?
3. Apa yang terjadi jika laba per unit dari kedua model berubah?
4. Bisakah Anda menjelaskan bagaimana mengaplikasikan metode grafik untuk menyelesaikan masalah ini?
5. Bagaimana pemrograman linear digunakan di bidang lainnya, seperti logistik atau keuangan?

**Tip:** Dalam pemrograman linear, memeriksa setiap batasan untuk memastikan solusi berada dalam area yang layak (feasible region) sangat penting untuk menemukan solusi optimum.

Explore how to optimize daily production of two radio models using linear programming. Learn to maximize profits considering production capacities and component availability constraints. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation