Variables: 𝑥 𝐶 x C ​ : cantidad de unidades del Producto C a producir. 𝑥 𝐷 x D ​ : cantidad de unidades del Producto D a producir. Función objetivo: Maximizar los beneficios semanales, dados por: Beneficio total = 120 𝑥 𝐶 + 180 𝑥 𝐷 Beneficio total=120x C ​ +180x D ​ Restricciones: Las restricciones para los recursos son: Mano de obra: 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 ≤ 16 x C ​ +2x D ​ ≤16 Materiales: 4 𝑥 𝐶 + 3 𝑥 𝐷 ≤ 24 4x C ​ +3x D ​ ≤24 Tiempo de máquina: 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 ≤ 14 x C ​ +2x D ​ ≤14 Vamos a resolver las ecuaciones de estas restricciones para encontrar los puntos de intersección y determinar la solución óptima. Paso 1: Resolver las ecuaciones para encontrar los puntos de intersección. Tomamos las dos primeras restricciones: 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 = 16 (1) x C ​ +2x D ​ =16(1) 4 𝑥 𝐶 + 3 𝑥 𝐷 = 24 (2) 4x C ​ +3x D ​ =24(2) Método de eliminación: Multiplicamos la primera ecuación por 4 para igualar el coeficiente de 𝑥 𝐶 x C ​ : 4 ( 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 ) = 4 ( 16 ) ⇒ 4 𝑥 𝐶 + 8 𝑥 𝐷 = 64 4(x C ​ +2x D ​ )=4(16)⇒4x C ​ +8x D ​ =64 Restamos la ecuación (2) de esta nueva ecuación para eliminar 𝑥 𝐶 x C ​ : ( 4 𝑥 𝐶 + 8 𝑥 𝐷 ) − ( 4 𝑥 𝐶 + 3 𝑥 𝐷 ) = 64 − 24 (4x C ​ +8x D ​ )−(4x C ​ +3x D ​ )=64−24 5 𝑥 𝐷 = 40 ⇒ 𝑥 𝐷 = 8 5x D ​ =40⇒x D ​ =8 Sustituimos 𝑥 𝐷 = 8 x D ​ =8 en la ecuación (1): 𝑥 𝐶 + 2 ( 8 ) = 16 ⇒ 𝑥 𝐶 + 16 = 16 x C ​ +2(8)=16⇒x C ​ +16=16 𝑥 𝐶 = 0 x C ​ =0 Entonces, un punto de intersección es ( 𝑥 𝐶 , 𝑥 𝐷 ) = ( 0 , 8 ) (x C ​ ,x D ​ )=(0,8). Ahora usamos la primera y tercera restricción: 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 = 16 (1) x C ​ +2x D ​ =16(1) 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 = 14 (3) x C ​ +2x D ​ =14(3) Estas ecuaciones son paralelas, lo que significa que no tienen intersección. No podemos obtener un nuevo punto de aquí. Finalmente, resolvemos la segunda y tercera restricción: 4 𝑥 𝐶 + 3 𝑥 𝐷 = 24 (2) 4x C ​ +3x D ​ =24(2) 𝑥 𝐶 + 2 𝑥 𝐷 = 14 (3) x C ​ +2x D ​ =14(3) Sustitución: De la ecuación (3), despejamos 𝑥 𝐶 x C ​ : 𝑥 𝐶 = 14 − 2 𝑥 𝐷 x C ​ =14−2x D ​ Sustituimos esta expresión en la ecuación (2): 4 ( 14 − 2 𝑥 𝐷 ) + 3 𝑥 𝐷 = 24 4(14−2x D ​ )+3x D ​ =24 56 − 8 𝑥 𝐷 + 3 𝑥 𝐷 = 24 56−8x D ​ +3x D ​ =24 − 5 𝑥 𝐷 = − 32 ⇒ 𝑥 𝐷 = 6.4 −5x D ​ =−32⇒x D ​ =6.4 Sustituimos 𝑥 𝐷 = 6.4 x D ​ =6.4 en la ecuación (3): 𝑥 𝐶 + 2 ( 6.4 ) = 14 x C ​ +2(6.4)=14 𝑥 𝐶 + 12.8 = 14 ⇒ 𝑥 𝐶 = 1.2 x C ​ +12.8=14⇒x C ​ =1.2 Entonces, otro punto de intersección es ( 𝑥 𝐶 , 𝑥 𝐷 ) = ( 1.2 , 6.4 ) (x C ​ ,x D ​ )=(1.2,6.4). Paso 2: Evaluar la función objetivo en los puntos de intersección. Punto ( 0 , 8 ) (0,8): Beneficio = 120 ( 0 ) + 180 ( 8 ) = 0 + 1440 = 1440 Beneficio=120(0)+180(8)=0+1440=1440 Punto ( 1.2 , 6.4 ) (1.2,6.4): Beneficio = 120 ( 1.2 ) + 180 ( 6.4 ) = 144 + 1152 = 1296 Beneficio=120(1.2)+180(6.4)=144+1152=1296 Paso 3: Solución óptima. El punto que maximiza el beneficio es ( 0 , 8 ) (0,8), con un beneficio de $1440. Conclusión: La solución óptima es producir 0 unidades del Producto C y 8 unidades del Producto D para maximizar los beneficios semanales. verifica