Sebuah perusahaan elektronika membuat dua model radio, masing-masing disebuah lini produksi yang terpisah. Kapasitas harian dari lini pertama adalah 60 radio dan lini kedua adalah 75 radio. Setiap unit model pertama menggunakan 10 butir komponen elektronik tertentu, sementara unit model kedua memerlukan 8 butir komponen yang sama. Ketersediaan harian maksimum untuk komponen khusus itu adalah 800 butir. Laba per unit model 1 dan 2 adalah $30 dan $20 secara berurutan.
Tentukan produksi harian optimum untuk setiap model dan berikan komentar Anda dari pemecahan yang di peroleh.


Masalah ini adalah masalah optimisasi linear yang melibatkan dua variabel keputusan, yaitu jumlah unit dari model 1 dan model 2 yang akan diproduksi setiap hari. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memaksimalkan laba total dengan mempertimbangkan batasan-batasan yang ada.

### Definisi Variabel
- $ x_1 $: Jumlah unit model 1 yang diproduksi per hari.
- $ x_2 $: Jumlah unit model 2 yang diproduksi per hari.

### Fungsi Objektif
Fungsi objektif adalah memaksimalkan laba total:
\[
Z = 30x_1 + 20x_2
\]

### Batasan-batasan
1. **Kapasitas produksi**:
   - Kapasitas harian lini pertama adalah 60 unit:
     \[
     x_1 \leq 60
     \]
   - Kapasitas harian lini kedua adalah 75 unit:
     \[
     x_2 \leq 75
     \]

2. **Ketersediaan komponen**:
   - Setiap unit model 1 menggunakan 10 butir komponen, dan setiap unit model 2 menggunakan 8 butir komponen. Ketersediaan maksimum komponen adalah 800 butir:
     \[
     10x_1 + 8x_2 \leq 800
     \]

3. **Non-negativitas**:
   \[
   x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0
   \]

### Langkah-langkah Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan metode grafik atau metode simplex.

1. **Metode Grafik**: Menggambar setiap batasan pada diagram Cartesian dan menentukan daerah feasible, kemudian menghitung nilai fungsi objektif di setiap titik sudut daerah feasible.

2. **Metode Simplex**: Menggunakan algoritma simplex untuk menemukan solusi optimum.

Namun, karena ini adalah masalah dua variabel, kita dapat menggunakan **Metode Grafik** untuk menemukan solusi optimum.

### Penyelesaian dengan Metode Grafik

1. **Gambarkan batasan** di dalam sistem koordinat:
   - $ x_1 \leq 60 $
   - $ x_2 \leq 75 $
   - $ 10x_1 + 8x_2 \leq 800 $

2. **Temukan titik-titik potong** dari batasan untuk menentukan titik sudut daerah feasible:
   - Batasan 1 dengan batasan 2:
     \[
     x_1 = 60, x_2 = 75
     \]
   - Batasan 1 dengan batasan 3 (dengan substitusi $ x_1 = 60 $):
     \[
     10(60) + 8x_2 \leq 800 \implies 600 + 8x_2 \leq 800 \implies x_2 = 25
     \]
   - Batasan 2 dengan batasan 3 (dengan substitusi $ x_2 = 75 $):
     \[
     10x_1 + 8(75) \leq 800 \implies 10x_1 + 600 \leq 800 \implies x_1 = 20
     \]
   - Batasan 3 dengan sumbu $ x_1 $ dan $ x_2 $:
     - Ketika $ x_1 = 0 $, maka $ 8x_2 = 800 \implies x_2 = 100 $
     - Ketika $ x_2 = 0 $, maka $ 10x_1 = 800 \implies x_1 = 80 $

3. **Evaluasi fungsi objektif** di titik-titik sudut dari daerah feasible:
   - $ (0, 75) $: $ Z = 30(0) + 20(75) = 1500 $
   - $ (60, 25) $: $ Z = 30(60) + 20(25) = 1800 + 500 = 2300 $
   - $ (20, 75) $: $ Z = 30(20) + 20(75) = 600 + 1500 = 2100 $

4. **Solusi Optimum**:
   Solusi optimum tercapai pada $ x_1 = 60 $ dan $ x_2 = 25 $, dengan nilai maksimum $ Z = 2300 $.

### Komentar
Produksi harian optimum adalah 60 unit model 1 dan 25 unit model 2. Pada titik ini, laba maksimum sebesar $2300 tercapai, dan kapasitas komponen yang tersedia telah digunakan secara efisien.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail tentang salah satu langkah ini? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana metode simplex bisa diterapkan pada masalah ini?
2. Apa yang akan terjadi jika kapasitas komponen ditingkatkan?
3. Bagaimana jika laba per unit dari model 2 dinaikkan menjadi $25?
4. Bisakah kita memaksimalkan produksi tanpa batasan komponen?
5. Bagaimana solusi akan berubah jika perusahaan dapat memproduksi lebih dari 60 unit model 1?

**Tip**: Dalam masalah optimisasi, selalu perhatikan batasan yang mendekati atau mencapai nilai maksimum dalam solusi optimum, karena hal itu menunjukkan penggunaan sumber daya yang paling efektif.

Explore how to optimize the daily production of two radio models to maximize profit using linear programming. Understand the constraints and decision variables involved, with a step-by-step solution example. Suitable for undergraduate level students and professionals.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation