Una caja cerrada con una base cuadrada se construye con 600cm2 de metal. Halle las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo. Halle el valor de este volumen máximo.

Este problema se puede resolver mediante la optimización con restricciones, utilizando derivadas.

**Datos del problema**:
- La caja tiene una base cuadrada, por lo que los lados de la base miden \( x \).
- La altura de la caja es \( h \).
- El área total de la caja es 600 cm².

### 1. Expresiones clave:
- El área total de la caja incluye el área de la base, el área de la tapa, y las cuatro caras laterales.
  
\[
\text{Área total} = x^2 + x^2 + 4xh = 2x^2 + 4xh
\]
Sabemos que el área total es 600 cm², por lo tanto:
\[
2x^2 + 4xh = 600 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

- El volumen de la caja es:
\[
V = x^2h
\]

### 2. Resolver la ecuación del área para \( h \):
De la Ecuación 1, despejamos \( h \):

\[
4xh = 600 - 2x^2
\]
\[
h = \frac{600 - 2x^2}{4x} = \frac{300 - x^2}{2x}
\]

### 3. Expresión del volumen en función de \( x \):
Sustituimos \( h \) en la ecuación del volumen \( V = x^2h \):

\[
V(x) = x^2 \left( \frac{300 - x^2}{2x} \right) = \frac{x(300 - x^2)}{2}
\]
\[
V(x) = \frac{300x - x^3}{2}
\]

### 4. Maximizar el volumen:
Para maximizar el volumen, derivamos \( V(x) \) con respecto a \( x \) y la igualamos a cero:

\[
V'(x) = \frac{1}{2}(300 - 3x^2) = 0
\]
\[
300 - 3x^2 = 0
\]
\[
3x^2 = 300
\]
\[
x^2 = 100
\]
\[
x = 10
\]

### 5. Encontrar \( h \):
Sustituimos \( x = 10 \) en la ecuación de \( h \):

\[
h = \frac{300 - 10^2}{2(10)} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10
\]

### 6. Volumen máximo:
Sustituimos \( x = 10 \) y \( h = 10 \) en la ecuación del volumen:

\[
V = x^2h = 10^2 \cdot 10 = 1000 \, \text{cm}^3
\]

### Respuesta final:
Las dimensiones de la caja que maximizan el volumen son \( x = 10 \, \text{cm} \) para el lado de la base y \( h = 10 \, \text{cm} \) para la altura. El volumen máximo es \( 1000 \, \text{cm}^3 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

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**Preguntas Relacionadas**:
1. ¿Cómo se derivan funciones con restricciones usando multiplicadores de Lagrange?
2. ¿Qué ocurre si el área disponible cambia, cómo afecta esto al volumen?
3. ¿Podría optimizarse este problema si la caja no tuviera tapa?
4. ¿Cómo interpretar el resultado desde el punto de vista geométrico?
5. ¿Qué sucede si el volumen es el que está limitado en lugar del área?

**Tip**: Para problemas de optimización, es clave encontrar una función objetivo clara y expresarla en términos de una sola variable mediante las restricciones.

Descubre cómo optimizar el volumen de una caja cerrada con base cuadrada construida con 600 cm² de metal. Aprende a derivar la función de volumen y encontrar las dimensiones de la caja que maximicen el volumen, con una solución detallada paso a paso. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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