Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartón 
rectangulares de 32 cm por 25 cm, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y 
doblando hacia arriba los lados. El fabricante ha determinado que el modelo matemático que 
le permite encontrar el volumen de la caja (V) a partir de la longitud del recorte de los 
cuadrados de las esquinas (x) es el siguiente:  
V(𝑥) = 4𝑥3 −114𝑥2 +800𝑥 
Con base en la información anterior determina:  
a. El volumen de la caja si el recorte que se realiza es de 8 cm 
b. ¿A partir de qué valor de recorte ya no se podría construir una caja? Recuerda lo visto 
en clase con la construcción de la caja 
c. La gráfica de la función 

Para resolver este problema, vamos a abordar cada apartado utilizando la función matemática dada:

\[ V(x) = 4x^3 - 114x^2 + 800x \]

donde \( x \) representa la longitud de los recortes cuadrados en las esquinas y \( V(x) \) es el volumen de la caja resultante.

### a. Volumen de la caja si el recorte es de 8 cm

Para calcular el volumen de la caja cuando el recorte \( x \) es de 8 cm, sustituimos \( x = 8 \) en la ecuación:

\[
V(8) = 4(8)^3 - 114(8)^2 + 800(8)
\]

Vamos a calcular este valor:El volumen de la caja cuando el recorte es de 8 cm es de \( 1152 \, \text{cm}^3 \).

### b. ¿A partir de qué valor de recorte ya no se podría construir una caja?

Para encontrar el valor de recorte \( x \) a partir del cual ya no se puede construir la caja, debemos analizar los límites de la función en función del tamaño del cartón. El valor de \( x \) debe cumplir las siguientes condiciones:

1. **Geometría válida**: La longitud de \( x \) no puede ser mayor que la mitad de los lados del cartón, es decir, \( x \) debe ser menor que \( 12.5 \) cm (el menor lado dividido entre 2).
   
2. **Volumen positivo**: El volumen debe ser mayor que cero para que la caja tenga sentido físico.

Primero, identificamos los intervalos donde la función deja de ser válida o positiva. Luego determinamos cuándo la geometría ya no permite la construcción. Calcularemos y graficaremos para obtener una visualización clara.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. However, I can guide you on how to proceed with finding when the box can't be constructed:

### How to Determine the Value of \( x \):
1. **Find Zeroes of the Function:** To find when the volume becomes zero, solve \( 4x^3 - 114x^2 + 800x = 0 \).
2. **Set Geometrical Constraints:** Since \( x \) represents the cut-out size, it must be less than half of the smallest side (i.e., \( x < 12.5 \)).
3. **Analyze Graphically:** Plot the function from \( x = 0 \) to \( x = 12.5 \) and look for when it crosses zero.

### c. Graph of the Function
You can graph the function \( V(x) = 4x^3 - 114x^2 + 800x \) using a graphing tool or software like Desmos, GeoGebra, or Python with matplotlib to see how the volume changes with different cut-out sizes.

Would you like help with other related questions, or more guidance on this? 

### Related Questions:
1. How can you solve cubic equations using factoring or numerical methods?
2. What happens to the box's dimensions as \( x \) increases?
3. What is the impact of different values of \( x \) on the surface area of the box?
4. How would you maximize the volume of the box?
5. How to interpret intersections with the x-axis in volume functions?

**Tip:** Always check the physical constraints of the problem when interpreting mathematical solutions.

Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartón rectangulares de 32 cm por 25 cm, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. El fabricante ha determinado que el modelo matemático que le permite encontrar el volumen de la caja (V) a partir de la longitud del recorte de los cuadrados de las esquinas (x) es el siguiente: V(𝑥) = 4𝑥^3 −114𝑥^2 +800𝑥 Con base en la información anterior determina: a. El volumen de la caja si el recorte que se realiza es de 8 cm b. ¿A partir de qué valor de recorte ya no se podría construir una caja? Recuerda lo visto en clase con la construcción de la caja c. La gráfica de la función

Este problema aborda cómo calcular el volumen de una caja abierta a partir de un recorte en las esquinas de una pieza de cartón rectangular de 32 cm por 25 cm. Utiliza la función cúbica V(x) = 4x^3 - 114x^2 + 800x para determinar el volumen de la caja con un recorte de 8 cm y analiza el valor máximo de recorte. Incluye también la representación gráfica de la función. Apropiado para estudiantes de los grados 10 a 12.

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