Me ayudas con el siguiente problema de secciones cónicas, paso a paso: Debido a posibles estancamientos de agua muchas carreteras están diseñadas con una sección transversal como se muestra en la imagen. El ancho de la carretera que se representa en la imagen es de 8 metros, y es más alta en el punto central que en sus costados por 0.1 metros. Nota: la imagen no está a escala. ¿Cuál es la ecuación que modela la superficie de la carretera?



Claro, te ayudaré paso a paso para resolver este problema de secciones cónicas. El problema describe la superficie transversal de una carretera y nos pide encontrar una ecuación que la modele. 

**Paso 1: Identificar el tipo de curva**

La carretera tiene una forma que probablemente se asemeje a una parábola, dado que es más alta en el centro que en los costados. Las parábolas son comunes en este tipo de situaciones porque proporcionan una pendiente suave desde el centro hacia los costados.

**Paso 2: Elegir el sistema de coordenadas**

Para simplificar el problema, podemos colocar el sistema de coordenadas de la siguiente manera:

- El **eje \( x \)** representará la posición horizontal a lo largo de la carretera (de izquierda a derecha).
- El **eje \( y \)** representará la altura de la carretera en cada punto.

El centro de la carretera, que es el punto más alto, se encuentra en el origen de coordenadas \( (0, 0.1) \), donde el eje \( x = 0 \) está en el centro y la altura máxima es de 0.1 metros.

El ancho total de la carretera es de 8 metros, por lo que en los bordes de la carretera, en \( x = -4 \) y \( x = 4 \), la altura será 0 metros, ya que el problema nos dice que los extremos están al nivel del suelo.

**Paso 3: Proponer la forma de la ecuación**

La ecuación de una parábola con eje de simetría vertical tiene la forma general:

\[
y = ax^2 + bx + c
\]

Sabemos que la parábola tiene su vértice en \( (0, 0.1) \), por lo que el término lineal \( bx \) desaparece debido a la simetría alrededor del eje \( y \). Esto simplifica la ecuación a:

\[
y = ax^2 + c
\]

Como el vértice está en \( y = 0.1 \), entonces \( c = 0.1 \). Así que ahora la ecuación es:

\[
y = ax^2 + 0.1
\]

**Paso 4: Usar las condiciones dadas para encontrar \( a \)**

Sabemos que en los bordes de la carretera, en \( x = -4 \) y \( x = 4 \), la altura \( y \) es 0. Esto nos da las siguientes condiciones:

Cuando \( x = 4 \) o \( x = -4 \), \( y = 0 \). Usamos esta información en la ecuación:

\[
0 = a(4)^2 + 0.1
\]

Despejamos para \( a \):

\[
0 = 16a + 0.1
\]

\[
16a = -0.1
\]

\[
a = \frac{-0.1}{16} = -\frac{1}{160}
\]

**Paso 5: Escribir la ecuación final**

Sustituyendo \( a = -\frac{1}{160} \) en la ecuación obtenida previamente, tenemos la ecuación que modela la superficie de la carretera:

\[
y = -\frac{1}{160}x^2 + 0.1
\]

Esta es la ecuación que describe la forma transversal de la carretera.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la inclinación de la carretera a la parábola?
2. ¿Qué pasaría si el ancho de la carretera fuera más grande?
3. ¿Cómo se puede ajustar la ecuación si la carretera es más alta en el centro?
4. ¿Cuál sería la pendiente en los extremos de la carretera?
5. ¿Cómo se calculan otras propiedades de una parábola, como el foco o la directriz?

### Tip:
Cuando trabajes con parábolas, siempre es útil identificar el vértice y los puntos clave como el ancho o las alturas específicas para simplificar la ecuación.

Me ayudas con el siguiente problema de secciones cónicas, paso a paso: Debido a posibles estancamientos de agua muchas carreteras están diseñadas con una sección transversal como se muestra en la imagen. El ancho de la carretera que se representa en la imagen es de 8 metros, y es más alta en el punto central que en sus costados por 0.1 metros. Nota: la imagen no está a escala. ¿Cuál es la ecuación que modela la superficie de la carretera?

Learn how to model the surface of a road using a parabola in this step-by-step solution. Given the road width of 8 meters and a height difference of 0.1 meters at the center, we use conic sections and quadratic equations to derive the parabola that models the cross-section. Perfect for high school students in Grades 10-12 studying coordinate geometry and parabolic curves.

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