me ayudas a resolver el siguiente problema de secciones cónicas paso a paso: Debido a posibles estancamientos de agua muchas carreteras están diseñadas con una sección transversal. El ancho de la carretera es de 8 metros, y es más alta en el punto central que en sus costados por 0.1 metros.

Este problema corresponde a una **parábola** debido a la descripción de la sección transversal de la carretera: es más alta en el centro y se eleva simétricamente hacia los lados. Procederé a guiarte paso a paso en la resolución, que consiste en modelar esta situación como una ecuación de parábola y luego determinar su forma explícita.

### 1. Comprensión del problema:
- El ancho total de la carretera es de 8 metros.
- La carretera es más alta en el punto central (vértice de la parábola) que en los costados (bordes de la carretera) por 0.1 metros.
- Esto significa que la carretera es simétrica respecto al punto central, donde tiene su altura máxima.

### 2. Definición del sistema de coordenadas:
Vamos a definir un sistema de coordenadas con las siguientes condiciones:
- Colocamos el eje \(y\) en la dirección vertical (representando la altura de la carretera).
- El eje \(x\) representa la posición horizontal a lo largo del ancho de la carretera.
- El punto central de la carretera estará en el origen \((0,0.1)\), porque allí la altura es de 0.1 metros.
- Los bordes de la carretera están en \((-4, 0)\) y \((4, 0)\), porque el ancho total de la carretera es de 8 metros y está centrada en el origen.

### 3. Ecuación estándar de la parábola:
La ecuación estándar de una parábola con vértice en el punto \((h, k)\) y que abre hacia abajo o hacia arriba es:

\[
y - k = a(x - h)^2
\]

En este caso, el vértice está en \((0, 0.1)\), así que la ecuación se simplifica a:

\[
y - 0.1 = a(x - 0)^2 \quad \text{o simplemente} \quad y = a x^2 + 0.1
\]

### 4. Determinación del valor de \(a\):
Sabemos que en los extremos de la carretera, que corresponden a \(x = -4\) y \(x = 4\), la altura es 0 (el nivel de los costados). Así que sustituimos \(x = 4\) y \(y = 0\) en la ecuación para encontrar el valor de \(a\):

\[
0 = a(4)^2 + 0.1
\]

\[
0 = 16a + 0.1
\]

Despejamos \(a\):

\[
16a = -0.1
\]

\[
a = \frac{-0.1}{16} = -\frac{1}{160}
\]

### 5. Ecuación final de la parábola:
Sustituimos el valor de \(a\) en la ecuación de la parábola:

\[
y = -\frac{1}{160} x^2 + 0.1
\]

### 6. Interpretación:
La ecuación de la carretera es \( y = -\frac{1}{160} x^2 + 0.1 \). Esta describe la forma parabólica de la carretera, donde \(x\) representa la distancia horizontal desde el centro de la carretera, y \(y\) es la altura en esa posición. Los valores extremos en \(x = -4\) y \(x = 4\) representan los bordes de la carretera, donde la altura es 0, y el vértice en \(x = 0\) tiene una altura de 0.1 metros.

### Resumen de los pasos:
1. Definimos la ecuación estándar de una parábola con vértice en \((0, 0.1)\).
2. Usamos la condición de altura 0 en los bordes \((\pm 4, 0)\) para calcular \(a\).
3. Encontramos la ecuación completa: \( y = -\frac{1}{160} x^2 + 0.1 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de \(a\) a la curvatura de la parábola?
2. ¿Qué pasaría si cambiamos el ancho de la carretera?
3. ¿Cómo se comporta la altura de la carretera a medida que te alejas del centro?
4. ¿Qué ocurre si la diferencia de altura entre el centro y los bordes es mayor?
5. ¿Cómo modelarías una carretera con un perfil diferente, como un arco o pendiente?

**Tip:** Para modelar diferentes tipos de estructuras con curvas, el tipo de cónica (parábola, elipse, etc.) que elijas dependerá de las características de la forma que necesitas replicar.

Resuelve paso a paso el problema de una carretera con una sección transversal parabólica. La carretera tiene un ancho de 8 metros y es 0.1 metros más alta en el centro. Aprende cómo modelar esta situación usando ecuaciones de parábolas, determinando el valor de a y encontrando la forma final de la ecuación parabólica.

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