usando L de mano de obra y k unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto en donde p (l,k)= raiz de 5 (L2+k2) y los costos unitarios de mano de obra y de capital son de us $ 200 y us $100.  Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades de su producto. Haller el número de insumo de mano de obra y de capital que deben emplearse con un objeto de minimizar el costo total

Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

### 1. Función de producción
La función de producción está dada por:
\[
P(L, K) = \sqrt{5(L^2 + K^2)}
\]
Donde:
- $ P $ es la cantidad de unidades producidas.
- $ L $ es la cantidad de unidades de mano de obra.
- $ K $ es la cantidad de unidades de capital.

Sabemos que la empresa decide producir $ P = 4500 $ unidades. Entonces, planteamos la ecuación:
\[
4500 = \sqrt{5(L^2 + K^2)}
\]
Elevar ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz:
\[
4500^2 = 5(L^2 + K^2)
\]
Resolviendo el cuadrado de 4500:
\[
20250000 = 5(L^2 + K^2)
\]
Dividimos entre 5 para simplificar:
\[
L^2 + K^2 = 4050000
\]

### 2. Función de costo
La función de costo total está dada por:
\[
C(L, K) = 200L + 100K
\]
Donde:
- $ C(L, K) $ es el costo total.
- El costo unitario de mano de obra es de US$200 por unidad de $ L $.
- El costo unitario de capital es de US$100 por unidad de $ K $.

### 3. Minimización del costo
Queremos minimizar el costo sujeto a la restricción de producción, por lo que usaremos el método de **multiplicadores de Lagrange**.

Definimos la función de Lagrange:
\[
\mathcal{L}(L, K, \lambda) = 200L + 100K + \lambda (L^2 + K^2 - 4050000)
\]
Donde $ \lambda $ es el multiplicador de Lagrange.

### 4. Derivadas parciales
Ahora derivamos la función de Lagrange respecto a $ L $, $ K $ y $ \lambda $ y las igualamos a cero.

#### Derivada respecto a $ L $:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 200 + \lambda (2L) = 0
\]
\[
\lambda = \frac{-200}{2L} = \frac{-100}{L}
\]

#### Derivada respecto a $ K $:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 100 + \lambda (2K) = 0
\]
\[
\lambda = \frac{-100}{2K} = \frac{-50}{K}
\]

### 5. Igualamos las dos expresiones de $ \lambda $:
\[
\frac{-100}{L} = \frac{-50}{K}
\]
Simplificamos:
\[
\frac{100}{L} = \frac{50}{K}
\]
Multiplicamos cruzado:
\[
100K = 50L
\]
\[
K = \frac{L}{2}
\]

### 6. Sustituimos en la restricción
Ahora sustituimos $ K = \frac{L}{2} $ en la restricción $ L^2 + K^2 = 4050000 $:
\[
L^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 = 4050000
\]
\[
L^2 + \frac{L^2}{4} = 4050000
\]
Multiplicamos todo por 4 para eliminar la fracción:
\[
4L^2 + L^2 = 16200000
\]
\[
5L^2 = 16200000
\]
\[
L^2 = \frac{16200000}{5} = 3240000
\]
\[
L = \sqrt{3240000} = 1800
\]

### 7. Calculamos $ K $
Dado que $ K = \frac{L}{2} $:
\[
K = \frac{1800}{2} = 900
\]

### 8. Conclusión
Para producir 4500 unidades minimizando el costo, la empresa debe emplear:
- **1800 unidades de mano de obra** $ L = 1800 $
- **900 unidades de capital** $ K = 900 $

¿Quieres detalles adicionales o alguna aclaración?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambia la solución si el costo unitario de capital aumenta?
2. ¿Qué sucede si la empresa decide producir más de 4500 unidades?
3. ¿Cómo afecta un cambio en la función de producción a la cantidad óptima de insumos?
4. ¿Qué pasaría si el costo unitario de mano de obra disminuye?
5. ¿Cómo influye en el costo total la relación entre $ L $ y $ K $?

**Tip**: Los multiplicadores de Lagrange son útiles para optimizar funciones con restricciones, especialmente en problemas económicos.

Discover how to minimize the total cost of labor and capital for a company using Lagrange multipliers given the production function P(L, K) = sqrt(5(L^2 + K^2)) and unit costs of labor and capital. Learn the step-by-step process of finding the optimal amounts of labor and capital needed to produce 4500 units. Suitable for undergraduate students studying calculus and optimization.

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