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b.	Demostrar que existe un punto    c    en el intervalo    [0, 3]    para que la siguiente función: 
  cumpla el teorema del valor medio. 


Para demostrar que existe un punto \( c \) en el intervalo \([0, 3]\) tal que la función \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) cumpla con el Teorema del Valor Medio (TVM), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Verificar que \( f(x) \) cumpla las condiciones del TVM
El Teorema del Valor Medio establece que si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a, b)\), entonces existe al menos un punto \( c \) en \((a, b)\) tal que:
\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]

Primero, verificamos que \( f(x) \) es continua en \([0, 3]\):
- La función \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) es continua en \([0, 3]\) porque la función raíz cuadrada es continua para todos los valores de \( x + 1 \geq 0 \), lo que es cierto para todo \( x \geq -1 \).

Luego, verificamos que \( f(x) \) es derivable en \((0, 3)\):
- La derivada de \( f(x) \) es \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \), que es derivable para \( x \geq -1 \). Por lo tanto, \( f(x) \) es derivable en \((0, 3)\).

### 2. Calcular \( f(a) \) y \( f(b) \)
- \( a = 0 \) y \( b = 3 \).
- \( f(0) = \sqrt{0 + 1} = 1 \).
- \( f(3) = \sqrt{3 + 1} = 2 \).

### 3. Aplicar el Teorema del Valor Medio
Aplicamos la fórmula del TVM para encontrar el valor de \( c \):
\[
f'(c) = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}
\]

### 4. Encontrar el valor de \( c \)
Igualamos \( f'(c) \) a \( \frac{1}{3} \):
\[
\frac{1}{2\sqrt{c + 1}} = \frac{1}{3}
\]

Resolviendo para \( c \):
\[
2\sqrt{c + 1} = 3
\]
\[
\sqrt{c + 1} = \frac{3}{2}
\]
\[
c + 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]
\[
c = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4} = 1.25
\]

### Conclusión
El valor de \( c \) que satisface el Teorema del Valor Medio en el intervalo \([0, 3]\) es \( c = 1.25 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el Teorema del Valor Medio en otros tipos de funciones?
2. ¿Cuál es la interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio?
3. ¿Qué sucede si la función no es derivable en algún punto del intervalo?
4. ¿Cómo se relaciona el Teorema del Valor Medio con el Teorema de Rolle?
5. ¿Existen casos donde no se puede aplicar el Teorema del Valor Medio?

### Consejo:
Para dominar el Teorema del Valor Medio, es útil practicar con funciones continuas y derivables de diferentes tipos para ver cómo se comportan en varios intervalos.

Demostrar que existe un punto c en el intervalo [0, 3] para que la siguiente función: f(x) = √(x + 1) cumpla el teorema del valor medio.

Demonstrate that there exists a point c in the interval [0, 3] such that the function f(x) = √(x + 1) satisfies the Mean Value Theorem. This problem covers key calculus concepts and is suitable for students in Grades 11-12.

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