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Para resolver el ejercicio, necesitamos encontrar el número crítico de la función \( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x} \).

### Pasos para resolver el problema:

1. **Definir la función**:  
   La función dada es \( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x} \).

2. **Derivar la función**:  
   Para encontrar los puntos críticos, debemos derivar la función \( f(x) \) con respecto a \( x \) y luego igualar la derivada a cero.

   La derivada de \( f(x) \) se encuentra utilizando la regla de la cadena:

   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 6x} \right)
   \]

   \[
   f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x}} \cdot (2x - 6)
   \]

   Simplificando:

   \[
   f'(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x}}
   \]

3. **Encontrar los puntos críticos**:  
   Los puntos críticos se encuentran cuando la derivada es igual a cero o cuando no está definida. 

   \[
   \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x}} = 0
   \]

   Esto ocurre cuando el numerador es igual a cero:

   \[
   x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3
   \]

   También debemos considerar dónde la derivada no está definida, lo cual ocurre cuando el denominador es cero. Para esto, se resuelve:

   \[
   \sqrt{x^2 - 6x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 6x = 0
   \]

   Factorizando:

   \[
   x(x - 6) = 0
   \]

   Esto nos da \( x = 0 \) y \( x = 6 \), pero estos puntos son donde la función misma es cero, no necesariamente donde la derivada es cero.

4. **Verificación y selección de la respuesta**:  
   En este caso, el único punto crítico en las opciones dadas es \( x = 3 \).

### Respuesta:
El número crítico de \( f(x) \) es \( x = 3 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se encuentra la derivada de una función radical en general?
2. ¿Qué significa un número crítico en el contexto de una función?
3. ¿Qué sucede en los puntos donde la derivada de una función no está definida?
4. ¿Cómo se identifica un máximo o mínimo local a partir de los puntos críticos?
5. ¿Qué importancia tienen los números críticos en el cálculo de extremos?
6. ¿Por qué es necesario considerar tanto donde la derivada es cero como donde no está definida?
7. ¿Cómo afecta el dominio de la función a los números críticos posibles?
8. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para encontrar números críticos?

**Tip:** Siempre verifica si una función es continua y derivable antes de encontrar sus números críticos; esto asegura que los puntos críticos encontrados sean válidos en el contexto de la función.

Learn how to find the critical number of the function f(x) = sqrt(x^2 - 6x) using calculus. Detailed steps include deriving the function, identifying critical points, and verifying solutions using the Mean Value Theorem. Suitable for college-level students and calculus enthusiasts.

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