Para encontrar os máximos e mínimos da função \( f(x) = x - 2\cos(x) \), precisamos seguir o seguinte procedimento:

### 1. Derivada da Função
Primeiro, encontramos a derivada da função \( f(x) \) para determinar onde a inclinação é zero (possíveis pontos críticos).

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x - 2\cos(x) \right) = 1 + 2\sin(x)
\]

### 2. Encontrar os Pontos Críticos
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

\[
1 + 2\sin(x) = 0
\]
\[
2\sin(x) = -1
\]
\[
\sin(x) = -\frac{1}{2}
\]

Sabemos que \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \) ocorre em:

\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi
\]
onde \( k \) é um número inteiro que indica os múltiplos de \( 2\pi \) (o período do seno).

### 3. Verificar os Pontos Críticos
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, podemos usar a segunda derivada:

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + 2\sin(x)) = 2\cos(x)
\]

Agora, avaliamos \( f''(x) \) nos pontos críticos:

- Para \( x = \frac{7\pi}{6} \), temos \( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), então \( f''(x) = 2 \times -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \), indicando um **máximo local**.
  
- Para \( x = \frac{11\pi}{6} \), temos \( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), então \( f''(x) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \), indicando um **mínimo local**.

### 4. Conclusão
- \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) são pontos de **máximo local**.
- \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) são pontos de **mínimo local**.

Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

Aqui estão 5 perguntas relativas ao conteúdo:
1. Como aplicar a segunda derivada para classificar pontos críticos?
2. O que significa um ponto crítico ser um máximo ou mínimo local?
3. Como encontrar a solução geral para equações trigonométricas como \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \)?
4. Por que a função \( \cos(x) \) é periódica e como isso influencia os resultados?
5. Como as derivadas ajudam a entender o comportamento de uma função?

**Dica:** A segunda derivada indica a concavidade da função: valores positivos indicam concavidade para cima (mínimo), e negativos indicam concavidade para baixo (máximo).

Explore how to find the maximum and minimum points of the function f(x) = x - 2cos(x) by using the first and second derivatives. This step-by-step guide explains how to solve the derivative, find critical points, and classify them using concavity. Suitable for high school or early college calculus students.

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