x为实数，求　x^2+1/(x^2+2) 的最小值

我们要寻找表达式 \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2 + 2} \) 的最小值。为此，我们可以对其求导并寻找临界点。

首先，对函数 \( f(x) \) 求导：

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + \frac{1}{x^2 + 2} \right)
\]

这可以分成两部分来求导：

1. 对 \( x^2 \) 求导，得到 \( 2x \)。
2. 对 \( \frac{1}{x^2 + 2} \) 求导，使用链式法则：
   \[
   \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 2} \right) = -\frac{1}{(x^2 + 2)^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2) = -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}
   \]

因此，函数的导数为：

\[
f'(x) = 2x - \frac{2x}{(x^2 + 2)^2}
\]

将导数设为零，找到临界点：

\[
2x \left( 1 - \frac{1}{(x^2 + 2)^2} \right) = 0
\]

显然， \( x = 0 \) 是一个解。

当 \( x = 0 \) 时，计算 \( f(0) \)：

\[
f(0) = 0^2 + \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}
\]

我们还需要考虑 \( x \) 的其他值时的情况。因为 \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2 + 2} \)，第一项 \( x^2 \) 总是非负的，第二项 \( \frac{1}{x^2 + 2} \) 总是正的，并且随 \( x^2 \) 增大而减小。因此，函数的最小值出现在 \( x = 0 \) 处。

综上所述，函数 \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2 + 2} \) 的最小值为：

\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]

如果需要详细解释或有其他问题，请告诉我。

---

以下是一些相关的问题：
1. 如何计算 \( x^2 + \frac{1}{x^2 + 2} \) 在其他特定点的值？
2. 对于更复杂的函数，如何更系统地求最小值？
3. 如何证明该函数在 \( x = 0 \) 处确实取得最小值？
4. 若函数为 \( x^2 + \frac{1}{x^2 + k} \)，其最小值如何随 \( k \) 变化？
5. 如何利用二阶导数判断极值的性质？

**提示**: 在求导过程中，使用链式法则时务必注意内部函数的导数。

Discover how to find the minimum value of the function f(x) = x^2 + 1/(x^2 + 2) using calculus. This problem involves finding critical points by taking derivatives and analyzing the behavior of the function. Suitable for advanced high school students and those interested in calculus optimization problems.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation