Para encontrar los máximos y mínimos de la función \( f(x, y) = xy \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Derivadas parciales:
Primero, calculamos las derivadas parciales de la función con respecto a \(x\) y \(y\):

- Derivada parcial con respecto a \(x\):
  \[
  f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (xy) = y
  \]

- Derivada parcial con respecto a \(y\):
  \[
  f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x
  \]

### 2. Puntos críticos:
Los puntos críticos se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones dado por igualar a cero las derivadas parciales:
\[
f_x(x, y) = y = 0
\]
\[
f_y(x, y) = x = 0
\]

De estas ecuaciones, obtenemos que el único punto crítico es \( (0, 0) \).

### 3. Matriz Hessiana:
Para clasificar el tipo de punto crítico (máximo, mínimo o punto de silla), calculamos la matriz Hessiana, que contiene las segundas derivadas parciales de la función:

- \( f_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(xy) = 0 \)
- \( f_{yy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2}(xy) = 0 \)
- \( f_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(xy) = 1 \)

La matriz Hessiana \(H\) es:
\[
H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\]

### 4. Determinante de la Hessiana:
El determinante de la matriz Hessiana es:
\[
\text{Det}(H) = (0)(0) - (1)(1) = -1
\]

### 5. Clasificación del punto crítico:
Como el determinante de la matriz Hessiana es negativo (\( \text{Det}(H) = -1 \)), el punto crítico \( (0, 0) \) es un **punto de silla**. Esto significa que no hay ni máximos ni mínimos locales en esta función, sino que el punto \( (0, 0) \) es una especie de "cambio de curvatura" en la superficie.

### Conclusión:
La función \( f(x, y) = xy \) no tiene máximos ni mínimos locales, pero tiene un punto de silla en \( (0, 0) \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este análisis?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales que pueden interesarte:
1. ¿Cómo se calcula la matriz Hessiana en funciones más complicadas?
2. ¿Qué es exactamente un punto de silla y cómo se diferencia de un máximo o mínimo?
3. ¿Cómo influyen las segundas derivadas en la clasificación de puntos críticos?
4. ¿Qué sucede si el determinante de la Hessiana es cero?
5. ¿Qué ejemplos de funciones tienen máximos y mínimos en lugar de puntos de silla?

**Tip:** La matriz Hessiana es una herramienta muy útil en el análisis de puntos críticos de funciones multivariables, ya que permite distinguir entre máximos, mínimos y puntos de silla.

Descubre cómo encontrar los máximos y mínimos de la función f(x,y) = xy utilizando derivadas parciales y la matriz Hessiana. Aprende a clasificar puntos críticos y a identificar puntos de silla, un concepto clave en cálculo multivariable.

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