Se pintaron de rojo algunas casillas de un tablero de 9 x 9 de tal forma que
cada casilla roja es la única casilla roja de su fila o la única casilla roja de su columna (puede
ser de ambas). ¿Como máximo cuantas casillas rojas pue de haber en el tablero?

Para resolver el problema, vamos a analizar la situación dada y determinar cuántas casillas rojas puede haber en el tablero de \(9 \times 9\) bajo las condiciones especificadas.

### Información dada:
- El tablero es de \(9 \times 9\), es decir, tiene 9 filas y 9 columnas.
- Cada casilla roja es la única casilla roja de su fila o la única casilla roja de su columna (puede ser de ambas).

### Análisis:

#### Caso 1: Una casilla roja por fila y columna
Si colocamos una casilla roja en cada fila y en cada columna, de tal manera que no haya más de una casilla roja por fila o por columna, esto podría parecer la configuración que maximiza las casillas rojas. Sin embargo, si una casilla roja es la única en su fila, entonces no puede haber otra en la misma columna (y viceversa).

La máxima cantidad de casillas rojas bajo estas condiciones se obtiene cuando se coloca una casilla roja en cada fila y columna de forma que no haya dos casillas rojas en la misma fila o columna. Esto es, podemos colocar 9 casillas rojas de tal forma que cada una esté en una fila y una columna diferente (lo que correspondería a una diagonal principal, por ejemplo).

#### Caso 2: Más de una casilla roja en una fila o columna
Si tratamos de colocar más de una casilla roja en una fila o columna, violamos las condiciones del problema. Por lo tanto, no podemos tener más de una casilla roja por fila o columna, lo que confirma que el número máximo es el de la configuración anterior.

### Conclusión:
El número máximo de casillas rojas que puede haber en el tablero es **9**.

¿Tienes alguna pregunta o quieres que explique algún detalle adicional?

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**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Qué pasaría si el tablero fuera de \(8 \times 8\)?
2. ¿Cómo cambiaría la solución si se permitiera más de una casilla roja por fila pero no por columna?
3. Si sólo se permitiera una casilla roja por columna, ¿cuántas casillas rojas podrían haber como máximo?
4. ¿Cómo afectaría la solución si se agregaran más filas o columnas al tablero?
5. ¿Qué patrón de distribución de las casillas rojas maximiza la cantidad?
6. ¿Qué pasaría si el tablero fuera de \(10 \times 10\)?
7. ¿Cuál sería la solución si el tablero tuviera dimensiones \(n \times n\)?
8. ¿Cómo se resolvería el problema si las casillas rojas debieran estar en posiciones consecutivas en una fila o columna?

**Tip:** Al enfrentar problemas de distribución en tableros, piensa en cómo las restricciones limitan las posibilidades y busca el patrón que maximiza el número de elementos bajo esas restricciones.

Explore how to maximize the number of red squares on a 9x9 board under the condition that each red square is the only one in its row or column. Learn the optimal arrangement and limitations of placing red squares in a constrained grid.

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