Considere un tablero de 8×8
 al cual se le han quitado las 4 casillas de las esquinas. De las 60 casillas que quedan se han pintado de negro k
 de ellas de tal forma que no hay dos casillas negras que comparten un vértice o un lado (es decir, las casillas negras no se tocan en ningún punto). Determine el mayor valor posible de k
.

Para resolver este problema, analizaremos cómo podemos pintar las casillas en un tablero de 8x8 del cual se han eliminado las cuatro esquinas, de manera que las casillas pintadas no se toquen entre sí ni compartan un vértice.

### Paso 1: Descripción del problema
El tablero original tiene \(8 \times 8 = 64\) casillas. Al quitar las 4 esquinas, quedan \(64 - 4 = 60\) casillas. Se busca pintar \(k\) de estas casillas de negro, de modo que ninguna casilla negra comparta un lado ni un vértice con otra casilla negra.

### Paso 2: Análisis de la distribución
Notamos que un tablero de 8x8, sin las esquinas, aún tiene una estructura similar a la de un tablero de ajedrez. En un tablero de ajedrez, las casillas se alternan en colores (blancas y negras), y una casilla negra no está adyacente (ni en lado ni en vértice) a otra casilla negra. 

Sin embargo, al quitar las esquinas, la simetría se altera, pero todavía podemos aprovechar la alternancia. Esto significa que si seleccionamos un color, por ejemplo, todas las casillas negras (en el sentido del ajedrez), entonces las casillas restantes (blancas) estarán en las posiciones que cumplen con la condición de que ninguna casilla negra toque otra.

### Paso 3: Contando las casillas posibles
Después de eliminar las esquinas, quedan 30 casillas negras y 30 casillas blancas en la configuración alternante de colores.

### Paso 4: Pintar las casillas de negro
Podemos elegir cualquiera de los conjuntos (blancas o negras) para pintarlas. Como hay 30 casillas en cualquiera de los dos conjuntos, el valor máximo de \(k\) es 30. Es decir, podemos pintar como máximo 30 casillas de negro sin que dos casillas negras se toquen por un lado o por un vértice.

### Conclusión
El mayor valor posible de \(k\) es 30.

¿Quieres más detalles sobre el proceso o tienes alguna otra pregunta? 

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas para profundizar más en este tema:

1. ¿Cómo afecta la eliminación de las esquinas al número de casillas adyacentes?
2. ¿Cómo se puede generalizar este problema a otros tamaños de tablero?
3. ¿Qué pasaría si se eliminaran otras casillas además de las esquinas?
4. ¿Cómo se podría demostrar que 30 es el valor máximo de \(k\)?
5. ¿Qué sucede si consideramos un tablero no cuadrado, por ejemplo, de 8x10?
6. ¿Cómo cambiaría la respuesta si permitimos que las casillas compartan un vértice?
7. ¿Es posible encontrar una fórmula general para tableros de \(n \times n\) sin esquinas?
8. ¿Qué algoritmos pueden ser útiles para resolver problemas similares de maximización en tableros?

**Tip:** Cuando resuelvas problemas de combinatoria o geometría en tableros, siempre es útil visualizar el tablero e identificar patrones de simetría que puedan simplificar el problema.

Explore how to maximize the number of black cells on an 8x8 chessboard with corners removed, ensuring no two black cells share a vertex or edge. Learn the optimal strategy and mathematical insights into combinatorics and graph theory.

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