el profesor les ha pedido a sus estudiantes resolver como máximo 5 ejercicios. Hay ejercicios de dos clasificaciones, A y B. Los tipo A tienen un puntaje de 3 puntos, mientras que los tipo B, de 4 puntos. Para resolver un ejercicio tipo A, se necesita 4 minutos, y para un ejercicio del tipo B, 6 minutos. Se dispone de 1 hora para resolver los ejercicios.



Luego de leer el caso, marca la alternativa según corresponda.

¿Cuántos ejercicios de cada tipo se debe resolver para obtener el mayor puntaje?

Vamos a resolver este problema utilizando un enfoque de programación lineal o de optimización. Queremos maximizar el puntaje total bajo las restricciones de tiempo y cantidad de ejercicios. 

### Variables:
- Sea \( x \) el número de ejercicios tipo A.
- Sea \( y \) el número de ejercicios tipo B.

### Datos:
- Cada ejercicio tipo A vale 3 puntos, y cada ejercicio tipo B vale 4 puntos.
- Resolver un ejercicio tipo A toma 4 minutos, y uno tipo B toma 6 minutos.
- Se dispone de 60 minutos (1 hora).
- El máximo número de ejercicios que se pueden resolver es 5 (suma de \( x + y \leq 5 \)).

### Función objetivo:
Queremos maximizar el puntaje total, es decir:
\[
P(x, y) = 3x + 4y
\]
### Restricciones:
1. La cantidad total de ejercicios no puede exceder 5:
   \[
   x + y \leq 5
   \]
2. El tiempo total no puede exceder 60 minutos:
   \[
   4x + 6y \leq 60
   \]
3. Además, \( x \geq 0 \) y \( y \geq 0 \), ya que no se pueden resolver cantidades negativas de ejercicios.

### Resolución:
Vamos a analizar diferentes combinaciones de \( x \) y \( y \) que cumplen las restricciones.

#### 1. \( x = 0 \)
- \( y \leq 5 \) por la primera restricción.
- Por la segunda restricción, \( 6y \leq 60 \), así que \( y \leq 10 \). Como \( y \leq 5 \), el máximo posible es \( y = 5 \).
- Puntaje total: \( 3(0) + 4(5) = 20 \).

#### 2. \( x = 1 \)
- \( x + y \leq 5 \), entonces \( y \leq 4 \).
- Por la segunda restricción, \( 4(1) + 6y \leq 60 \), lo que resulta en \( 6y \leq 56 \) y \( y \leq 9.33 \), por lo que \( y \leq 4 \).
- Puntaje total para \( y = 4 \): \( 3(1) + 4(4) = 19 \).

#### 3. \( x = 2 \)
- \( x + y \leq 5 \), entonces \( y \leq 3 \).
- Por la segunda restricción, \( 4(2) + 6y \leq 60 \), lo que resulta en \( 6y \leq 52 \) y \( y \leq 8.66 \), por lo que \( y \leq 3 \).
- Puntaje total para \( y = 3 \): \( 3(2) + 4(3) = 18 \).

#### 4. \( x = 3 \)
- \( x + y \leq 5 \), entonces \( y \leq 2 \).
- Por la segunda restricción, \( 4(3) + 6y \leq 60 \), lo que resulta en \( 6y \leq 48 \) y \( y \leq 8 \), por lo que \( y \leq 2 \).
- Puntaje total para \( y = 2 \): \( 3(3) + 4(2) = 17 \).

#### 5. \( x = 4 \)
- \( x + y \leq 5 \), entonces \( y \leq 1 \).
- Por la segunda restricción, \( 4(4) + 6y \leq 60 \), lo que resulta en \( 6y \leq 44 \) y \( y \leq 7.33 \), por lo que \( y \leq 1 \).
- Puntaje total para \( y = 1 \): \( 3(4) + 4(1) = 16 \).

#### 6. \( x = 5 \)
- \( x + y \leq 5 \), entonces \( y = 0 \).
- Por la segunda restricción, \( 4(5) + 6(0) \leq 60 \), lo que se cumple.
- Puntaje total: \( 3(5) + 4(0) = 15 \).

### Conclusión:
El puntaje máximo se obtiene cuando se resuelven **0 ejercicios tipo A y 5 ejercicios tipo B**, lo que da un puntaje total de **20 puntos**.

### Resumen:
- \( x = 0 \), \( y = 5 \)
- Puntaje máximo = 20 puntos.

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre los cálculos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría la limitación de tiempo si solo hubiera 30 minutos?
2. ¿Qué pasaría si los ejercicios tipo A tomaran 5 minutos en lugar de 4?
3. ¿Cómo se resolvería el problema si se agregara una tercera categoría de ejercicios?
4. ¿Cómo se maximizaría el puntaje si no hubiera límite en la cantidad de ejercicios?
5. ¿Cuál es el impacto de cambiar la cantidad de puntos por ejercicio?

### Tip:
Al resolver problemas de optimización, las restricciones deben analizarse con cuidado para garantizar que los resultados cumplan todas las condiciones.

El profesor les ha pedido a sus estudiantes resolver como máximo 5 ejercicios. Hay ejercicios de dos clasificaciones, A y B. Los tipo A tienen un puntaje de 3 puntos, mientras que los tipo B, de 4 puntos. Para resolver un ejercicio tipo A, se necesita 4 minutos, y para un ejercicio del tipo B, 6 minutos. Se dispone de 1 hora para resolver los ejercicios. ¿Cuántos ejercicios de cada tipo se debe resolver para obtener el mayor puntaje?

Solve a linear programming problem where students need to maximize their score by solving up to 5 exercises of type A and B. Each type A exercise gives 3 points, and type B gives 4 points. With a 1-hour time limit, this problem explores optimization techniques. Suitable for students in Grades 10-12.

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