Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, I là trung điểm BC. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB, AC.
 a) Tứ giác BCNM là hình gì? Vì sao?
 b) Gọi O là giao điểm của MN và AI. Chứng minh O là trung điểm của MN
 c) Kẻ MH, AD và OK lần lượt vuông góc với BC (H, D, K thuộc BC).
 Chứng minh MH + OK = AD
 d) Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các tam giác ABP và ACQ vuông cân tại A. Chứng
minh  AI=1/2 PQ

**Câu 4:**

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(I\) là trung điểm \(BC\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\).

**a) Tứ giác \(BCNM\) là hình gì? Vì sao?**

**Giải:**

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\), theo định lý đường trung bình của tam giác:

- \(MN\) song song với \(BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).
- \(BM = \frac{1}{2} AB\) và \(CN = \frac{1}{2} AC\).

Do đó, tứ giác \(BCNM\) có \(BM \parallel CN\) và \(BC \parallel MN\). Vậy \(BCNM\) là một hình bình hành.

**b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(MN\) và \(AI\). Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MN\).**

**Giải:**

Xét tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), ta có:

- \(MN\) là đường trung bình, nên \(MN \parallel BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).
- \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do đó, đường thẳng \(AI\) chính là đường trung tuyến của tam giác \(AMN\) và vì vậy \(O\), giao điểm của \(MN\) và \(AI\), là trung điểm của \(MN\).

**c) Kẻ \(MH\), \(AD\) và \(OK\) lần lượt vuông góc với \(BC\) (với \(H\), \(D\), \(K\) thuộc \(BC\)). Chứng minh \(MH + OK = AD\).**

**Giải:**

Do \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), nên đường thẳng \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), suy ra:

- \(MN \parallel BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).
- \(AD\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có \(MH\) là đường cao từ \(M\) xuống \(BC\) và \(OK\) là đường cao từ \(O\) xuống \(BC\).

Do \(O\) là trung điểm của \(MN\) (câu b đã chứng minh), nên \(OK = \frac{1}{2} AD\).

Vì vậy \(MH + OK = AD\).

**d) Về phía ngoài tam giác \(ABC\), dựng các tam giác \(ABP\) và \(ACQ\) vuông cân tại \(A\). Chứng minh \(AI = \frac{1}{2} PQ\).**

**Giải:**

Xét các tam giác vuông cân \(ABP\) và \(ACQ\) dựng về phía ngoài tam giác \(ABC\), ta có:

- \(AP = AB\) và \(AQ = AC\).
- Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\), \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Ta cần chứng minh rằng \(AI = \frac{1}{2} PQ\).

Xét tam giác \(APQ\), ta có \(P\) và \(Q\) là các đỉnh của các tam giác vuông cân, nên:

- \(\angle PAQ = \angle BAC\).
- \(PQ\) là đoạn thẳng nối hai điểm \(P\) và \(Q\) nằm đối xứng qua trung tuyến \(AI\) của tam giác \(ABC\).

Theo định lý đường trung bình, trong tam giác \(APQ\), đường trung tuyến \(AI\) là đường trung bình nối từ \(A\) tới \(PQ\), và:

\[
AI = \frac{1}{2} PQ
\]

Điều này cần chứng minh.

---

**Bạn có muốn giải thích thêm chi tiết không?** Nếu có câu hỏi nào khác hoặc cần làm rõ, tôi sẵn sàng giúp.

**Một số câu hỏi liên quan:**
1. Tính chất nào của hình bình hành áp dụng trong việc chứng minh tứ giác \(BCNM\) là hình bình hành?
2. Tại sao đường trung tuyến trong tam giác lại đi qua trung điểm của cạnh đối diện?
3. Trong tam giác vuông cân, đoạn thẳng nối từ đỉnh góc vuông đến trung điểm của cạnh huyền có tính chất gì?
4. Tính chất nào của đường trung bình được sử dụng trong bài toán này?
5. Làm thế nào để dựng tam giác vuông cân ngoài tam giác đã cho?

**Mẹo:** Để chứng minh tứ giác là hình bình hành, hãy kiểm tra xem hai cặp cạnh đối diện có song song và bằng nhau không.

Explore a geometry problem involving triangle properties, medians, altitudes, and external triangles. Understand the application of midsegment theorem and symmetry properties in triangles. Suitable for high school students studying geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation