Aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, dado en forma matricial, a través del método de Jacobi utilizando el vector inicial (0,0,0,0)
, con ϵ=10−5
 (usa FIX 5).
⎡⎣⎢⎢⎢004−1−10−144−10−1−1400⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢x1x2x3x4⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢1111⎤⎦⎥⎥⎥

      2. Aplica el criterio de convergencia.

      3. Despeja cada variable de la ecuación correspondiente.

      4. Completa la tabla de iteraciones.


iteración









0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 


      5. Determina la solución del sistema.

### 1. Método de Jacobi - Planteamiento Inicial

Tenemos el sistema de ecuaciones lineales dado por la siguiente forma matricial:

\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
4 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
\]

Y queremos aproximar la solución usando el **método de Jacobi** con un vector inicial \(\mathbf{x}^{(0)} = (0, 0, 0, 0)\), y una tolerancia \( \epsilon = 10^{-5} \).

### 2. Criterio de Convergencia

El método de Jacobi converge si la matriz es diagonalmente dominante, es decir, el valor absoluto de cada elemento en la diagonal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos fuera de la diagonal en esa fila. Veamos si la matriz cumple este criterio.

\[
A = 
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
4 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\]

- Para la primera fila: \(|0| \not> |4| + |-1|\) → No es dominante.
- Para la segunda fila: \(|0| \not> |-1| + |-1|\) → No es dominante.
- Para la tercera fila: \(|0| \not> |4| + |-1| + |-1|\) → No es dominante.
- Para la cuarta fila: \(|4| > 0\) → Sí es dominante.

Como solo la última fila cumple el criterio, este sistema **no es diagonalmente dominante**, lo que indica que el método de Jacobi puede no converger. Sin embargo, intentaremos aplicarlo.

### 3. Despeje de cada variable

Reordenamos las ecuaciones del sistema original para despejar cada variable en términos de las demás. Las ecuaciones originales son:

1. \( 4x_3 - x_4 = 1 \)
2. \(-x_1 - x_4 = 1 \)
3. \( 4x_1 - x_2 - x_4 = 1 \)
4. \( 4x_4 = 1 \)

Despejando cada variable:

1. \( x_1 = \frac{1 + x_4}{4} \)
2. \( x_2 = -(x_1 + x_4) \)
3. \( x_3 = \frac{1 + x_4}{4} \)
4. \( x_4 = \frac{1}{4} = 0.25 \) (ya que la ecuación solo depende de \(x_4\)).

### 4. Iteraciones del Método de Jacobi

Utilizaremos las ecuaciones despejadas y el vector inicial \(\mathbf{x}^{(0)} = (0, 0, 0, 0)\). Realizaremos iteraciones hasta que la diferencia entre las soluciones de iteraciones consecutivas sea menor que \( \epsilon = 10^{-5} \).

#### Iteración 0 (inicial):
\[
\mathbf{x}^{(0)} = (0, 0, 0, 0)
\]

#### Iteración 1:
Usamos los valores de \( \mathbf{x}^{(0)} \) para calcular los nuevos valores.

1. \( x_1^{(1)} = \frac{1 + 0.25}{4} = 0.3125 \)
2. \( x_2^{(1)} = -(0 + 0.25) = -0.25 \)
3. \( x_3^{(1)} = \frac{1 + 0.25}{4} = 0.3125 \)
4. \( x_4^{

Aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, dado en forma matricial, a través del método de Jacobi utilizando el vector inicial (0,0,0,0), con ϵ=10−5 (usa FIX 5). Aplica el criterio de convergencia, despeja cada variable de la ecuación correspondiente, completa la tabla de iteraciones y determina la solución del sistema.

Learn how to approximate the solution of a linear system using the Jacobi method with a detailed step-by-step approach. This problem involves applying the convergence criterion, iterative calculation, and handling systems where the matrix may not be diagonally dominant. Suitable for university-level students studying linear algebra.

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