Se f(x)={5−9x22x2+5x<0,x≥0
, então f−1(y)
 para y<5
 é igual a:
Questão 1Escolha uma opção:

a.
−5−y√3

b.
y−5√3√

c.
y−5√2√

d.
5y−4√2√

e.
5−y√3

Vamos analisar a função \( f(x) \) para determinar a função inversa \( f^{-1}(y) \) quando \( y < 5 \).

A função dada é:

\[
f(x) =
\begin{cases}
5 - 9x^2, & \text{se } x < 0 \\
2x^2 + 5, & \text{se } x \geq 0
\end{cases}
\]

Para encontrar a inversa \( f^{-1}(y) \), precisamos primeiro analisar os dois casos separadamente.

### Caso 1: \( x < 0 \)
Se \( x < 0 \), temos \( f(x) = 5 - 9x^2 \).

Vamos resolver para \( x \):

\[
y = 5 - 9x^2
\]

\[
9x^2 = 5 - y
\]

\[
x^2 = \frac{5 - y}{9}
\]

Como \( x < 0 \), temos \( x = -\sqrt{\frac{5 - y}{9}} \).

Simplificando:

\[
x = -\frac{\sqrt{5 - y}}{3}
\]

Portanto, a inversa para este caso é:

\[
f^{-1}(y) = -\frac{\sqrt{5 - y}}{3}
\]

### Caso 2: \( x \geq 0 \)
Se \( x \geq 0 \), temos \( f(x) = 2x^2 + 5 \).

Vamos resolver para \( x \):

\[
y = 2x^2 + 5
\]

\[
2x^2 = y - 5
\]

\[
x^2 = \frac{y - 5}{2}
\]

Como \( x \geq 0 \), temos \( x = \sqrt{\frac{y - 5}{2}} \).

Portanto, a inversa para este caso é:

\[
f^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y - 5}{2}}
\]

### Resposta Final

Como o problema pede a inversa \( f^{-1}(y) \) para \( y < 5 \), precisamos considerar apenas o caso onde \( y = 5 - 9x^2 \). Nesse caso, \( x = -\frac{\sqrt{5 - y}}{3} \), que corresponde à opção **a**:

\[
\text{Opção correta: a. } -\frac{\sqrt{5 - y}}{3}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão 5 questões relacionadas para explorar:

1. Como determinar a função inversa de uma função quadrática?
2. Como simplificar expressões envolvendo raízes quadradas?
3. O que significa encontrar a inversa de uma função?
4. Como o domínio da função original afeta sua função inversa?
5. Como interpretar graficamente a função inversa de uma função dada?

**Dica:** Lembre-se, ao encontrar a função inversa, é importante considerar o domínio da função original para determinar corretamente a inversa.

Se f(x) = {5−9x² para x < 0, 2x² + 5 para x ≥ 0}, então f⁻¹(y) para y < 5 é igual a: 
Questão 1Escolha uma opção: a. −(√(5−y))/3, b. √(y−5)/√3, c. √(y−5)/√2, d. √(5y−4)/√2, e. (√(5−y))/3

Learn how to find the inverse of a quadratic function f(x) = {5−9x² for x < 0, 2x² + 5 for x ≥ 0} when y < 5. This problem explores key algebraic concepts, inverse functions, and square roots, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation