Se f(x)={4x2+44−2x2x<0,x≥0
, então f−1(y)
 para y>4
 é igual a:
Questão 1Escolha uma opção:

a.
4−y√2

b.
−−y−4√2√

c.
−y−4√2

d.
−4−y√2

e.
4y−3√3√

Vamos resolver o problema passo a passo para encontrar a inversa de \( f(x) \), que é \( f^{-1}(y) \), dado que \( y > 4 \).

A função dada é:
\[
f(x) = 
\begin{cases} 
4x^2 + 44 & \text{para } x \geq 0, \\
-2x^2 & \text{para } x < 0.
\end{cases}
\]
Nos interessa a parte da função onde \( y > 4 \), então devemos trabalhar com \( f(x) = 4x^2 + 44 \), pois essa é a definição para \( x \geq 0 \).

### Etapas:

1. Vamos igualar a função ao valor de \( y \) para \( x \geq 0 \):

\[
y = 4x^2 + 44.
\]

2. Resolvendo para \( x \):

\[
y - 44 = 4x^2,
\]
\[
x^2 = \frac{y - 44}{4},
\]
\[
x = \sqrt{\frac{y - 44}{4}} = \frac{\sqrt{y - 44}}{2}.
\]

3. Como \( x \geq 0 \), a expressão da inversa é positiva. Portanto, a inversa da função para \( y > 4 \) é:

\[
f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y - 44}}{2}.
\]

Agora, comparando essa expressão com as opções fornecidas, a alternativa correta é:

**c. \(\frac{\sqrt{y - 44}}{2}\)**

### Perguntas relacionadas:

1. O que é uma função inversa e como ela se relaciona com a função original?
2. Como o domínio de uma função afeta a existência de sua inversa?
3. Por que descartamos a parte negativa da raiz quadrada na solução?
4. Como resolver funções inversas que envolvem expressões quadráticas?
5. Como a derivada de uma função pode nos ajudar a verificar se a função tem uma inversa?

### Dica:
Sempre que trabalhar com funções quadráticas, atente-se ao domínio e à imagem da função para garantir que a inversa seja bem definida!

Se f(x)={4x^2 + 44 − 2x^2, x<0, x≥0}, então f−1(y) para y>4 é igual a: Escolha uma opção: a. 4−y√2, b. −−y−4√2√, c. −y−4√2, d. −4−y√2, e. 4y−3√3√

This problem involves finding the inverse of a quadratic function, considering domain restrictions and solving for f^{-1}(y) when y > 4. It explores key concepts such as inverse functions, quadratic equations, and function properties, suitable for students in Grades 10-12.

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