Zufallsexperiment: Zehnmaliges Würfeln mit einem Würfel (Zahlen 1-6).
Die Zufallsvariable 𝑋 beschreibt die gewürfelte Augenzahl.

Beobachtung # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Realisation 3 3 2 5 6 1 2 1 3 6
Aufgaben:
1. Berechnen Sie die: • empirische Verteilungsfunktion
• theoretische Verteilungsfunktion
• Wahrscheinlichkeitsfunktion

Erkläre die Rechenschritte sehr ausführlich und erkläre das Vorgehen

In diesem Fall handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem zehnmal mit einem fairen Würfel (Zahlen 1–6) geworfen wird. Die Zufallsvariable \( X \) beschreibt die gewürfelte Augenzahl, und die Realisationen der Zufallsvariable sind: \( 3, 3, 2, 5, 6, 1, 2, 1, 3, 6 \).

### 1. Empirische Verteilungsfunktion

Die **empirische Verteilungsfunktion** (auch: empirische kumulative Verteilungsfunktion) basiert auf den beobachteten Daten (Realisationen) und gibt an, wie oft eine bestimmte Augenzahl geworfen wurde. Sie beschreibt den Anteil der Beobachtungen, die kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl \( x \) sind.

#### Schrittweise Vorgehensweise:
1. **Häufigkeit ermitteln:** Zunächst zählen wir, wie oft jede Augenzahl (1–6) in den Realisationen vorkommt.
   - Augenzahl 1: 2-mal
   - Augenzahl 2: 2-mal
   - Augenzahl 3: 3-mal
   - Augenzahl 4: 0-mal
   - Augenzahl 5: 1-mal
   - Augenzahl 6: 2-mal

2. **Relative Häufigkeiten (empirische Wahrscheinlichkeiten):**
   Die relative Häufigkeit einer Augenzahl ist der Anteil der Realisationen, in denen diese Zahl auftritt. Da insgesamt 10 Würfe durchgeführt wurden, ist die relative Häufigkeit \( f(x) \) für jede Augenzahl \( x \) gegeben durch:
   \[
   f(x) = \frac{\text{Anzahl der Realisationen von } x}{\text{Gesamtanzahl der Würfe}} = \frac{\text{Häufigkeit von } x}{10}
   \]
   - Für \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{2}{10} = 0,2 \)
   - Für \( x = 2 \): \( f(2) = \frac{2}{10} = 0,2 \)
   - Für \( x = 3 \): \( f(3) = \frac{3}{10} = 0,3 \)
   - Für \( x = 4 \): \( f(4) = \frac{0}{10} = 0,0 \)
   - Für \( x = 5 \): \( f(5) = \frac{1}{10} = 0,1 \)
   - Für \( x = 6 \): \( f(6) = \frac{2}{10} = 0,2 \)

3. **Kumulative Wahrscheinlichkeiten berechnen (empirische Verteilungsfunktion):**
   Nun summieren wir die relativen Häufigkeiten der Augenzahlen auf, um die kumulativen Wahrscheinlichkeiten zu erhalten:
   \[
   F(x) = P(X \leq x)
   \]
   - Für \( x = 1 \): \( F(1) = f(1) = 0,2 \)
   - Für \( x = 2 \): \( F(2) = f(1) + f(2) = 0,2 + 0,2 = 0,4 \)
   - Für \( x = 3 \): \( F(3) = F(2) + f(3) = 0,4 + 0,3 = 0,7 \)
   - Für \( x = 4 \): \( F(4) = F(3) + f(4) = 0,7 + 0,0 = 0,7 \)
   - Für \( x = 5 \): \( F(5) = F(4) + f(5) = 0,7 + 0,1 = 0,8 \)
   - Für \( x = 6 \): \( F(6) = F(5) + f(6) = 0,8 + 0,2 = 1,0 \)

   Damit lautet die empirische Verteilungsfunktion:
   \[
   F(x) =
   \begin{cases}
   0,2 & \text{für } x = 1 \\
   0,4 & \text{für } x = 2 \\
   0,7 & \text{für } x = 3 \\
   0,7 & \text{für } x = 4 \\
   0,8 & \text{für } x = 5 \\
   1,0 & \text{für } x = 6 \\
   \end{cases}
   \]

### 2. Theoretische Verteilungsfunktion

Die **theoretische Verteilungsfunktion** eines Zufallsexperiments beschreibt die Wahrscheinlichkeiten basierend auf den zugrunde liegenden Annahmen (in diesem Fall ein fairer Würfel). Bei einem fairen Würfel sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Augenzahlen gleich groß.

#### Vorgehensweise:
- Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl \( x \) zu würfeln, ist für einen fairen Würfel \( P(X = x) = \frac{1}{6} \), da jede Zahl die gleiche Chance hat.
  
Die **theoretische Wahrscheinlichkeitsfunktion** ist also:
\[
P(X = x) = \frac{1}{6} \quad \text{für } x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
\]

Um die **theoretische Verteilungsfunktion** zu berechnen, summieren wir wieder die Wahrscheinlichkeiten auf:
\[
F(x) = P(X \leq x)
\]
- Für \( x = 1 \): \( F(1) = P(X = 1) = \frac{1}{6} \approx 0,167 \)
- Für \( x = 2 \): \( F(2) = P(X \leq 2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \approx 0,333 \)
- Für \( x = 3 \): \( F(3) = P(X \leq 3) = \frac{3}{6} = 0,5 \)
- Für \( x = 4 \): \( F(4) = P(X \leq 4) = \frac{4}{6} \approx 0,667 \)
- Für \( x = 5 \): \( F(5) = P(X \leq 5) = \frac{5}{6} \approx 0,833 \)
- Für \( x = 6 \): \( F(6) = P(X \leq 6) = \frac{6}{6} = 1,0 \)

### 3. Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die **Wahrscheinlichkeitsfunktion** beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die verschiedenen Augenzahlen in einem einzelnen Wurf eines Würfels auftreten.

- Für die empirische Wahrscheinlichkeitsfunktion basierend auf den Beobachtungen haben wir bereits berechnet:
  \[
  P(X = 1) = 0,2, \quad P(X = 2) = 0,2, \quad P(X = 3) = 0,3, \quad P(X = 4) = 0,0, \quad P(X = 5) = 0,1, \quad P(X = 6) = 0,2
  \]

- Die theoretische Wahrscheinlichkeitsfunktion, wie zuvor berechnet, ist für alle \( x \):
  \[
  P(X = x) = \frac{1}{6} \approx 0,167 \quad \text{für } x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
  \]

### Zusammenfassung:
1. Die empirische Verteilungsfunktion wird auf Grundlage der Beobachtungen erstellt und beschreibt den Anteil der Ergebnisse, die kleiner oder gleich einer bestimmten Augenzahl sind.
2. Die theoretische Verteilungsfunktion basiert auf einem fairen Würfel und zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, eine bestimmte Augenzahl oder kleiner zu würfeln.
3. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen jede einzelne Augenzahl auftreten kann, sowohl empirisch (aus den Daten) als auch theoretisch (für einen fairen Würfel).

Hast du noch Fragen oder möchtest du etwas detaillierter erklärt haben?

### Weiterführende Fragen:
1. Wie unterscheidet sich die empirische Verteilung von der theoretischen bei einer größeren Stichprobe?
2. Welche Auswirkungen hätte ein unfairer Würfel auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion?
3. Wie würde man die Wahrscheinlichkeiten für ein Experiment mit zwei Würfeln berechnen?
4. Inwiefern ändern sich die empirischen Wahrscheinlichkeiten, wenn das Experiment 100 Mal wiederholt wird?
5. Kann die empirische Verteilungsfunktion den Gesetz des großen Zahlen widerspiegeln?

### Tipp:
Die empirische Verteilungsfunktion nähert sich bei zunehmender Stichprobe immer mehr der theoretischen Verteilungsfunktion an, ein Kernprinzip des Gesetzes der großen Zahlen.

Zufallsexperiment: Zehnmaliges Würfeln mit einem Würfel (Zahlen 1-6). Die Zufallsvariable 𝑋 beschreibt die gewürfelte Augenzahl. Beobachtung # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Realisation 3 3 2 5 6 1 2 1 3 6 Aufgaben: 1. Berechnen Sie die: • empirische Verteilungsfunktion • theoretische Verteilungsfunktion • Wahrscheinlichkeitsfunktion Erkläre die Rechenschritte sehr ausführlich und erkläre das Vorgehen

Learn how to calculate the empirical and theoretical distribution functions for a 10-roll dice experiment with step-by-step solutions. This problem covers key probability concepts, such as cumulative probability and the law of large numbers. Suitable for high school students in Grades 9-12.

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