Utiliza las diferencias divididas de Newton para encontrar los polinomios de interpolación correspondientes a los siguientes puntos. demuestre de forma gráfica con GeoGebra que cada punto pertenece al polinomio que construyo Luego, compara los polinomios obtenidos con los resultados del método de Lagrange para verificar si son equivalentes, puede ser útil graficar ambos polinomios y ver su intersección en los puntos clave.

(-2,4),\ (1,-3),\ (3,7)

### 1. Cálculo del polinomio de interpolación usando **diferencias divididas de Newton**:

Dado que los puntos son \((-2,4),\ (1,-3),\ (3,7)\), podemos calcular el polinomio de interpolación de Newton siguiendo estos pasos:

#### Paso 1: Tabla de diferencias divididas

| \(x\)  | \(f(x)\) | \( \Delta_1 \)         | \( \Delta_2 \)      |
|--------|----------|-----------------------|--------------------|
| -2     | 4        | \( \frac{-3 - 4}{1 - (-2)} = -\frac{7}{3} \) | \( \frac{7 - (-3)}{3 - 1} = 5 \) |
| 1      | -3       | \( \frac{7 - (-3)}{3 - 1} = 5 \)        |                            |
| 3      | 7        |                             |                            |

#### Paso 2: Construcción del polinomio de Newton

El polinomio de Newton tiene la siguiente forma general:

\[
P(x) = f(x_0) + \Delta_1(x - x_0) + \Delta_2(x - x_0)(x - x_1)
\]

Con \(x_0 = -2\), \(x_1 = 1\), y \(x_2 = 3\), los coeficientes calculados son:

- \(f(x_0) = 4\),
- \(\Delta_1 = -\frac{7}{3}\),
- \(\Delta_2 = 5\).

El polinomio resultante es:

\[
P(x) = 4 + \left(-\frac{7}{3}\right)(x + 2) + 5(x + 2)(x - 1)
\]

#### Paso 3: Expansión del polinomio

Vamos a expandir el polinomio:

1. Multiplicamos \(\left(-\frac{7}{3}\right)(x + 2)\):
   \[
   -\frac{7}{3}(x + 2) = -\frac{7}{3}x - \frac{14}{3}
   \]

2. Luego multiplicamos \(5(x + 2)(x - 1)\):
   \[
   5(x + 2)(x - 1) = 5(x^2 - x + 2x - 2) = 5(x^2 + x - 2) = 5x^2 + 5x - 10
   \]

Finalmente, sumamos los términos:

\[
P(x) = 4 - \frac{7}{3}x - \frac{14}{3} + 5x^2 + 5x - 10
\]

Simplificamos:

\[
P(x) = 5x^2 + \left(5 - \frac{7}{3}\right)x + \left(4 - \frac{14}{3} - 10\right)
\]

\[
P(x) = 5x^2 + \frac{8}{3}x - \frac{38}{3}
\]

Este es el polinomio de interpolación en la forma final usando las diferencias divididas de Newton.

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### 2. Cálculo del polinomio de interpolación usando **el método de Lagrange**:

El polinomio de Lagrange tiene la forma:

\[
P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x)
\]

donde:

\[
L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\]

Usamos los tres puntos dados: \((-2, 4)\), \( (1, -3) \), y \( (3, 7) \).

#### Paso 1: Cálculo de \(L_0(x)\), \(L_1(x)\) y \(L_2(x)\)

- \( L_0(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(-2 - 1)(-2 - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{15} \)
- \( L_1(x) = \frac{(x + 2)(x - 3)}{(1 + 2)(1 - 3)} = \frac{(x + 2)(x - 3)}{-6} \)
- \( L_2(x) = \frac{(x + 2)(x - 1)}{(3 + 2)(3 - 1)} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{10} \)

#### Paso 2: Construcción del polinomio

\[
P(x) = 4L_0(x) - 3L_1(x) + 7L_2(x)
\]

Calculamos cada término:

1. \( 4L_0(x) = 4 \cdot \frac{(x - 1)(x - 3)}{15} = \frac{4(x - 1)(x - 3)}{15} \)
2. \( -3L_1(x) = -3 \cdot \frac{(x + 2)(x - 3)}{-6} = \frac{3(x + 2)(x - 3)}{6} \)
3. \( 7L_2(x) = 7 \cdot \frac{(x + 2)(x - 1)}{10} = \frac{7(x + 2)(x - 1)}{10} \)

#### Paso 3: Suma de los términos

\[
P(x) = \frac{4(x - 1)(x - 3)}{15} + \frac{3(x + 2)(x - 3)}{6} + \frac{7(x + 2)(x - 1)}{10}
\]

---

### 3. Comparación de los métodos

Tanto el polinomio de diferencias divididas como el de Lagrange deberían ser equivalentes una vez expandidos completamente. El siguiente paso sería **graficar ambos polinomios** en GeoGebra para comprobar visualmente su equivalencia y que ambos pasen por los puntos \((-2,4)\), \( (1,-3) \), y \( (3,7) \).

**GeoGebra** puede graficar las ecuaciones \(P(x)\) de ambos métodos, y al verificar los puntos de intersección con los datos dados, se debería observar que los polinomios son idénticos.

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se pueden comparar polinomios mediante la gráfica de sus curvas?
2. ¿Qué ventajas ofrece el método de Newton frente al de Lagrange en términos de eficiencia?
3. ¿Cuál es el grado máximo del polinomio que pasa por \(n+1\) puntos?
4. ¿En qué otros contextos se utilizan las diferencias divididas de Newton?
5. ¿Cómo se calculan las diferencias divididas para más de tres puntos?

**Tip:** Los métodos de interpolación son especialmente útiles para aproximar funciones cuando se conocen pocos puntos de datos.

Utiliza las diferencias divididas de Newton para encontrar los polinomios de interpolación correspondientes a los siguientes puntos. Demuestre de forma gráfica con GeoGebra que cada punto pertenece al polinomio que construyo. Luego, compara los polinomios obtenidos con los resultados del método de Lagrange para verificar si son equivalentes. Puede ser útil graficar ambos polinomios y ver su intersección en los puntos clave. (-2,4), (1,-3), (3,7).

Aprende a calcular el polinomio de interpolación usando diferencias divididas de Newton y el método de Lagrange para los puntos (-2,4), (1,-3), y (3,7). Compara ambos métodos gráficamente utilizando GeoGebra para verificar la equivalencia de los polinomios en los puntos dados.

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