Hacer detalladamente y paso las matrices de interferencia del siguiente Interferometer. El Diodenlaser de 632,8nm emite un hay que pasa por un polarisador hasta llegar a un Strahlteiler a una distancia de 56,45cm del Diodenlaser. El Strahlteiler tiene una inclinacion de 56° en lugar de 45°. El haz que se refleja pasa por el Linse mit Brennweite f=+200mm hasta llegar al detektor. Entre el Strahlteiler y el Linse hay una distancia de 13 cm y entre el Linse y el detektor hay una distancia de 15,5cm. Cual es la matriz de interferencia con respecto al E-feld

Para abordar la interferencia en el sistema interferométrico que has descrito, es importante analizar paso a paso las transformaciones que sufre el haz de luz desde que es emitido por el diodo láser hasta que llega al detector. Usaremos matrices de transferencia y reflexión, considerando la polarización, las propiedades del divisor de haz (Strahlteiler) y la lente, todo en términos del campo eléctrico \(\mathbf{E}\).

### Descripción del sistema

1. **Láser**: El láser emite luz de longitud de onda \(\lambda = 632.8 \, \text{nm}\) (roja), con un campo eléctrico \(\mathbf{E}_0\) que está linealmente polarizado. Vamos a considerar que el láser emite un haz con el campo eléctrico \(\mathbf{E}_0\).

2. **Polarizador**: El polarizador selecciona una dirección específica de la polarización. Vamos a suponer que el haz sale polarizado en la dirección \(\hat{x}\), es decir, \(\mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_0 \hat{x}\).

3. **Divisor de haz (Strahlteiler)**: El divisor de haz está inclinado 56° con respecto a la trayectoria del láser, en lugar del típico ángulo de 45°. Esto introduce modificaciones en la reflexión y transmisión del haz.
   - Reflexión: Dado el ángulo de incidencia no estándar (56°), tendremos que usar las fórmulas de Fresnel para el cálculo de los coeficientes de reflexión y transmisión dependiendo de la polarización.
   - Transmisión: El haz que atraviesa el divisor sigue una dirección distinta y también experimenta modificaciones debido a la polarización y el ángulo.

4. **Lente**: La lente tiene una distancia focal \( f = +200 \, \text{mm} \). Dado que la distancia entre el divisor de haz y la lente es \( 13 \, \text{cm} \), y entre la lente y el detector es \( 15.5 \, \text{cm} \), esto nos permite calcular cómo se enfocan los rayos hacia el detector usando la ecuación de lentes y las propiedades de Fourier del campo eléctrico a través de lentes.

5. **Detector**: El detector mide la interferencia entre los dos rayos reflejados y transmitidos. Aquí es donde debemos analizar las interferencias entre ambos campos eléctricos, reflejados y transmitidos.

### Paso 1: Campo eléctrico inicial

El campo eléctrico emitido por el láser puede representarse como:

\[
\mathbf{E}_0 = E_0 \hat{x} \exp(i k z - i \omega t)
\]

donde:
- \(E_0\) es la amplitud del campo eléctrico,
- \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) es el número de onda, 
- \(\lambda = 632.8 \, \text{nm}\),
- \(\omega = 2\pi f\) es la frecuencia angular.

### Paso 2: Interacción con el divisor de haz (Strahlteiler)

El divisor de haz introduce dos caminos:
- **Haz reflejado**: El haz reflejado será modificado por los coeficientes de reflexión \( r_p \) y \( r_s \) para polarizaciones \(p\) y \(s\), que dependen del ángulo de incidencia (\( \theta = 56^\circ \)) y del índice de refracción del material del divisor. Los coeficientes de Fresnel son:

\[
r_s = \frac{\cos\theta - n \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}{\cos\theta + n \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}
\]

\[
r_p = \frac{n \cos\theta - \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}{n \cos\theta + \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}
\]

- **Haz transmitido**: El haz transmitido también es modificado por los coeficientes de transmisión \( t_p \) y \( t_s \), que dependen de las mismas variables.

\[
t_s = \frac{2 \cos\theta}{\cos\theta + n \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}
\]

\[
t_p = \frac{2 n \cos\theta}{n \cos\theta + \sqrt{1 - \left( \frac{\sin\theta}{n} \right)^2}}
\]

### Paso 3: Propagación hacia la lente

El haz reflejado se propaga \(13 \, \text{cm}\) hasta la lente, lo que introduce una fase adicional en el campo eléctrico debido a la propagación. La nueva fase será:

\[
\mathbf{E}_r = r_p E_0 \exp(i k d_r)
\]

donde \(d_r = 0.13 \, \text{m}\).

El haz transmitido también se propaga pero a una distancia diferente. La fase será:

\[
\mathbf{E}_t = t_p E_0 \exp(i k d_t)
\]

donde \(d_t\) es la distancia total que recorre el haz transmitido hasta el detector (suma de las distancias entre divisor-lente y lente-detector).

### Paso 4: Transformación a través de la lente

La lente introduce una transformación en el frente de onda del haz. Si trabajamos en el dominio de Fourier, la lente actúa como una transformada de Fourier del campo eléctrico entrante, con una fase que depende de la distancia focal \(f\).

La relación entre los campos eléctricos antes y después de la lente puede representarse como una multiplicación por una fase:

\[
\mathbf{E}_{r,\text{post}} = \mathbf{E}_r \exp \left( \frac{-i k r^2}{2f} \right)
\]

\[
\mathbf{E}_{t,\text{post}} = \mathbf{E}_t \exp \left( \frac{-i k r^2}{2f} \right)
\]

### Paso 5: Interferencia en el detector

En el detector, los dos haces interferirán. El campo eléctrico total será la suma de los dos campos, reflejado y transmitido:

\[
\mathbf{E}_{\text{total}} = \mathbf{E}_{r,\text{post}} + \mathbf{E}_{t,\text{post}}
\]

La intensidad de la interferencia se calcula como el cuadrado de la magnitud del campo eléctrico total:

\[
I = |\mathbf{E}_{\text{total}}|^2
\]

Esto producirá un patrón de interferencia en función de las fases relativas de los dos campos, que dependen de las distancias recorridas y las transformaciones inducidas por la lente y el divisor de haz.

### Resumen final

La matriz de interferencia en términos del campo eléctrico \(E\) incluye los efectos de las reflexiones y transmisiones en el divisor de haz, la propagación y la lente. La interferencia depende de la diferencia de fases introducidas por estas componentes.

1. **Matriz de Fresnel**: Coeficientes \(r_p, r_s, t_p, t_s\) del divisor.
2. **Matriz de propagación**: Fase dependiente de las distancias recorridas.
3. **Matriz de lente**: Transformación de Fourier con la distancia focal \(f\).

¿Te gustaría una mayor explicación en algún paso específico o más detalles de las matrices de Fresnel? 

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el ángulo del divisor de haz a la intensidad de la interferencia?
2. ¿Qué papel juega la longitud de onda del láser en el patrón de interferencia?
3. ¿Cómo se calculan los coeficientes de Fresnel para polarizaciones \(s\) y \(p\)?
4. ¿Qué sucede si cambiamos la distancia entre la lente y el detector?
5. ¿Cómo se ajusta la ecuación de interferencia si se usa una lente con distancia focal diferente?

### Tip:
Recuerda que las lentes convergentes transforman frentes de onda, creando un patrón de interferencia distinto según la posición relativa del detector.

Hacer detalladamente y paso las matrices de interferencia del siguiente Interferometer. El Diodenlaser de 632,8nm emite un hay que pasa por un polarisador hasta llegar a un Strahlteiler a una distancia de 56,45cm del Diodenlaser. El Strahlteiler tiene una inclinacion de 56° en lugar de 45°. El haz que se refleja pasa por el Linse mit Brennweite f=+200mm hasta llegar al detektor. Entre el Strahlteiler y el Linse hay una distancia de 13 cm y entre el Linse y el detektor hay una distancia de 15,5cm. Cual es la matriz de interferencia con respecto al E-feld.

Explore the detailed step-by-step analysis of interference matrices in an interferometer setup using a 632.8nm laser. This problem covers essential concepts such as wave propagation, Fourier optics, Fresnel coefficients, and interference patterns. Suitable for undergraduate physics and engineering students.

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