Encontrar la constante de integración de la funcion, cuando "y" tenga el valor de 12 y el de "x" sea de 2. De la siguiente Integral; (4x²+ 2 Raiz de x)/x dx

Para resolver esta integral y encontrar la constante de integración con las condiciones dadas (cuando \( y = 12 \) y \( x = 2 \)), procedemos de la siguiente manera:

1. **Integral inicial**:

La integral que nos dan es:

\[
\int \frac{4x^2 + 2 \sqrt{x}}{x} \, dx
\]

Primero, simplificamos la expresión dentro de la integral:

\[
\frac{4x^2}{x} + \frac{2 \sqrt{x}}{x} = 4x + 2x^{-1/2}
\]

Así que ahora tenemos la integral:

\[
\int (4x + 2x^{-1/2}) \, dx
\]

2. **Resolver la integral**:

La integral de cada término se resuelve de la siguiente manera:

\[
\int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2
\]

\[
\int 2x^{-1/2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4x^{1/2}
\]

Por lo tanto, la integral completa es:

\[
2x^2 + 4x^{1/2} + C
\]

donde \( C \) es la constante de integración que debemos encontrar.

3. **Usar las condiciones iniciales**:

Nos dicen que cuando \( x = 2 \), \( y = 12 \). Sustituimos estos valores en la solución general para encontrar \( C \):

\[
12 = 2(2)^2 + 4(2)^{1/2} + C
\]

Calculamos cada término:

\[
12 = 2(4) + 4(\sqrt{2}) + C
\]
\[
12 = 8 + 4\sqrt{2} + C
\]
\[
C = 12 - 8 - 4\sqrt{2}
\]
\[
C = 4 - 4\sqrt{2}
\]

4. **Resultado**:

La constante de integración es:

\[
C = 4 - 4\sqrt{2}
\]

Entonces, la solución final para la integral, con la constante de integración específica, es:

\[
y = 2x^2 + 4x^{1/2} + 4 - 4\sqrt{2}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para continuar profundizando:

1. ¿Cómo se obtienen las integrales básicas de \( x^n \)?
2. ¿Qué sucede cuando las condiciones iniciales no están presentes?
3. ¿Cómo se resuelven integrales con raíces más complejas?
4. ¿Cuáles son las técnicas de integración para funciones más complicadas?
5. ¿Cómo se verifica la solución de una integral?

**Tip:** Siempre revisa si puedes simplificar la expresión antes de integrar, facilita mucho el proceso.

Encontrar la constante de integración de la función, cuando "y" tenga el valor de 12 y el de "x" sea de 2. De la siguiente Integral; (4x² + 2 Raíz de x) / x dx

This problem involves finding the constant of integration for the integral (4x² + 2√x)/x dx when y = 12 and x = 2. The solution includes simplifying the integral expression, solving it step by step, and applying the initial conditions. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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